Question

Тема: Произведение и частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Умножьте комплексные числа:
z₁=√3/2(cos 5π/3 + i sin 5π/3) на z₂=2/√3(cos 2π/3 + i sin 2π/3)

Answer 1

$z_1= frac{sqrt3}{2}cdot (cosfrac{5pi }{3}+icdot sinfrac{5pi }{3})\\z_2=frac{2}{sqrt3}cdot (cosfrac{2pi}{3}+icdot sinfrac{2pi }{3})\\z_1cdot z_2=r_1cdot r_2cdot (cos(varphi _1+varphi _1)+icdot sin(varphi _1+varphi _2))\\z_1cdot z_2=frac{sqrt3}{2}cdot frac{2}{sqrt3}cdot (cos(frac{5pi }{3}+frac{2pi }{3})+icdot sin(frac{5pi }{3}+frac{2pi }{3}))=\\=cosfrac{7pi }{3}+icdot sinfrac{7pi }{3}=cosfrac{pi}{3}+icdot sinfrac{pi}{3}$

$frac{z_1}{z_2}=frac{r_1}{r_2}cdot (cos(varphi _1-varphi _2)+icdot sin(varphi _1-varphi _2))\\frac{z_1}{z_2}=frac{3}{4}cdot (cospi +icdot sinpi )$

Answer 2

$z_1=frac{sqrt{3}}{2}*[cos(frac{5pi}{3})+i*sin(frac{5pi}{3})]=frac{sqrt{3}}{2}*e^{i*frac{5pi}{3}}\\ z_2=frac{2}{sqrt{3}}*[cos(frac{2pi}{3})+i*sin(frac{2pi}{3})]=frac{2}{sqrt{3}}*e^{i*frac{2pi}{3}}\\ frac{z_1}{z_2}=frac{frac{sqrt{3}}{2}*e^{i*frac{5pi}{3}}}{frac{2}{sqrt{3}}*e^{i*frac{2pi}{3}}}=frac{3}{4}*e^{i*frac{5pi}{3}-i*frac{2pi}{3}}=frac{3}{4}*e^{i*pi}=frac{3}{4}*[cos(pi)+i*sin(pi)].$

$z_1*z_2=frac{sqrt{3}}{2}*e^{i*frac{5pi}{3}}*frac{2}{sqrt{3}}*e^{i*frac{2pi}{3}}=1*e^{i*frac{5pi}{3}+i*frac{2pi}{3}}=e^{i*frac{7pi}{3}}=e^{i*(2pi+frac{pi}{3})}=\\ =e^{i*frac{pi}{3}}=cos(frac{pi}{3})+i*sin(frac{pi}{3})$