Question

Тема: Комплексные числа в тригонометрической форме.
Найти модуль комплексного числа:
z=-2+3i

Answer 1

$z=Re+i*Im\\ r=|z|=sqrt{(Re)^2+(Im)^2}\\ cos(phi)=frac{Re}{r}=frac{Re}{sqrt{(Re)^2+(Im)^2}}\\ sin(phi)=frac{Im}{r}=frac{Im}{sqrt{(Re)^2+(Im)^2}}\\ z=r*[cos(phi)+i*sin(phi)]$

$z=-2+{3}*i\\ Re=-2 Im={3}\\ r=|z|=sqrt{(Re)^2+(Im)^2}=sqrt{(-2)^2+({3})^2}=sqrt{13}\\ cos(phi)=frac{Re}{r}=frac{-2}{sqrt{13}}=-frac{2}{13}\\ sin(phi)=frac{Im}{r}=frac{{3}}{sqrt{13}}=frac{3}{sqrt{13}}\\ phi=arctg(frac{Im}{Re})=arctg(-frac{3}{2})=pi-arctg(frac{3}{2})\\ z=r*[cos(phi)+i*sin(phi)]\\ z=sqrt{13}*[cos(pi-arctg(frac{3}{2}))+i*sin(pi-arctg(frac{3}{2}))]$

$z=|z|*e^{iphi}=sqrt{13}*e^{i*[pi-arctg(frac{3}{2})]}$

Ответ: $sqrt{13}*[cos(pi-arctg(frac{3}{2}))+i*sin(pi-arctg(frac{3}{2}))]=sqrt{13}*e^{i*[pi-arctg(frac{3}{2})]}$