сумма трех чисел,составляющих геометрическую прогрессию,равна 26. Если первое число оставить без изменения,второе увеличить на 3,а третье уменьшить на 2,то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию.Найдите исходные числа.
Ответы на вопрос
если три числа составляют геометрическую прогрессию то их можно записать как
a; aq; aq²
их сумма a+aq+aq²=26; a(1+q+q²)=26⇒ a=26/(1+q+q²)
теперь выполним второе условие
a; aq+3; aq²-2 и теперь это арифметическая прогрессия, для которой выполняется условие:
aq+3-a=aq²-2-(aq+3)
a(q-1)+3=aq(q-1)-5
aq(q-1)-a(q-1)=8
a(q-1)²=8
подставим а=26/(1+q+q²)
26/(1+q+q²) * (q-1)²=8
26(q-1)²=8(1+q+q²)
18q²-60q+18=0 | :2
9q²-30q+9=0
D=900-324=576=24²
q₁=(30+24)/18=3; q₂=(30-24)/18=1/3
Теперь рассмотрим два случая
q₁=3. тогда a=26/(1+3+9)=2; aq=6; aq²=18
получили прогрессию 2; 6; 18
q₂=1/3. тогда a=26(1+1/3+1/9)=18; aq=6; aq²=2
получили прогрессию 18; 6; 2
Оба случая верные