Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в 4\3 раза больше суммы квадратов всех её членов. Найди q, если b1 = 1.

Answer 1

Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q}$

Формула нахождения n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

=============================

По условию есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия  $b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,...$,  сумму которой можно посчитать по формуле $S_1=\dfrac{b_1}{1-q}.$

И по условию есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, состоящая из квадратов первой прогрессии:

$c_1=b_1^2\\c_2=(b_2)^2=(b_1\cdot q)^2=b_1^2\cdot q^2\\c_3=(b_3)^2=(b_1\cdot q^2)^2=b_1^2\cdot \left(q^2\right)^2\\...\\c_n=(b_n)^2=(b_1\cdot q^{n-1})^2=b_1^2\cdot \left(q^2\right)^{n-1}\\...$

Если сравнить формулы n-го члена, то видно, что в прогрессии, состоящей из квадратов, первый член $c_1=b_1^2$ , а знаменатель второй  прогрессии $q_1=q^2.$  Тогда сумма прогрессии, состоящей из квадратов:

$S_2=\dfrac{c_1}{1-q_1}=\dfrac{b_1^2}{1-q^2}$

По условию

$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac 43;\ \ \ \ \ \dfrac{b_1}{1-q}:\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=\dfrac 43\\\\\\\dfrac{b_1\cdot (1-q^2)}{(1-q)\cdot b_1^2}=\dfrac 43;\ \ \ \ \ \dfrac{b_1\cdot (1-q)(1+q)}{(1-q)\cdot b_1^2}=\dfrac 43\\\\\\\dfrac{1+q}{b_1}=\dfrac 43;\ \ \ \ b_1=1\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \boldsymbol{1+q=\dfrac 43}\\\\q=\dfrac 43-1=\dfrac 13$

Ответ:  1/3.