Question

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює р см, а бічне
ребро утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні
та об’єм піраміди.

Answer 1

Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює половині добутку периметру основи на довжину бічного ребра. Оскільки основа є правильним трикутником, то периметр дорівнює 3р, де р - довжина сторони основи, а довжина бічного ребра дорівнює р * √2. Тому площа бічної поверхні рівна:

Sб = 1/2 * 3р * р * √2 = 3/2 * р² * √2

Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює одній третині добутку площі основи на висоту піраміди. Висоту піраміди можна знайти за допомогою теореми Піфагора, оскільки бічне ребро і висота підібрані так, щоб утворювати кут 45 градусів. Довжина висоти буде рівна р * (1 + √2) / 2. Тоді об'єм піраміди дорівнює:

V = 1/3 * (р² * √3 / 4) * р * (1 + √2) / 2 = р³ * √2 / 6