СРОЧНОО!! решите задачу
Всі вершини трикутника АВС належать площині α. Доведіть, що медіана АМ трикутника належить цій площині.
Ответы на вопрос
Ответ:
Щоб довести, що медіана AM трикутника ABC належить площині альфа, можна скористатися тим, що медіана трикутника ділить протилежну сторону на дві рівні частини. Припустимо, що точки A, B і C належать площині alpha.
Спочатку проведемо медіану AM трикутника ABC від вершини A до середини M трикутника BC. Нехай точка перетину прямої AM з площиною alpha буде точкою P.
Тепер потрібно довести, що точка P належить прямій BC, яка також лежить у площині alpha.
Для цього проведемо через точку P пряму, паралельну стороні AB трикутника ABC. Ця пряма перетинає сторону AC у точці D.
Оскільки пряма PD паралельна стороні AB, ми маємо, що кут PDC = кут ABC (альтернативні внутрішні кути). Подібним чином можна довести, що кут PCD = кут ACB.
Отже, трикутник PDC подібний до трикутника ABC, тому PD/AB = DC/AC. Оскільки D знаходиться на стороні AC, а P — на прямій AM, яка є медіаною, ми маємо, що DC = DB. Отже, PD/AB = DB/AC.
Помноживши обидві частини на AC, ми отримаємо, що PD = (AB/AC) * BD. Але оскільки M є серединою BC, ми маємо, що BD = 2*DM.
Отже, PD = (AB/AC) * 2DM = 2(AB/AC)*DM, з чого видно, що точка P лежить на прямій BC, а отже, на площині alpha.
Отже, медіана AM трикутника ABC також належить площині alpha.