Question

СРОЧНО!!!!!
В тетраэдре ABCD AB = ВС, AD = DC. Найти угол между прямыми АС и BD.

Answer 1

Ответ:

 $90^{\circ}.$

Объяснение:

Пусть E - середина AC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, медиана BE одновременно является высотой, то есть

                              $\overrightarrow{BE}\bot\overrightarrow{AC} \Rightarrow\left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AC}\right)=0.$    

Поскольку треугольник ADC равнобедренный, медиана DE одновременно является высотой, то есть

                             $\overrightarrow{ED}\bot\overrightarrow{AC} \Rightarrow\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{AC}\right)=0.$

Поэтому

   $\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC}\right)= \left(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{AC}\right)= \left(\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{AC}\right)=0\Rightarrow\overrightarrow{BD}\bot \overrightarrow{AC}.$

Поэтому угол между прямыми AC и BD прямой.

Напомним, что скалярное произведение векторов - это произведение их длин и на косинус угла между ними, поэтому векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.