Question

Срочно! С решением! Арифметическая прогрессия a1,a2,…,a40 состоит из действительных чисел. Пусть S1=a1+a3+a5+…+a39 и S2=a2+a4+a6+…+a40. Известно, что S1+140=S2. Найдите a15−a8.

Answer 1

Основные формулы для арифметической прогрессии:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_1+d(n-1)$

По условию:

$S_1=a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{39}$

$S_2=a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{40}$

Заметим, что $a_2=a_1+d$; $a_4=a_3+d$; $a_6=a_5+d$; ...; $a_{40}=a_{39}+d$.

Тогда, выражение для $S_2$ можно переписать в виде:

$S_2=(a_1+d)+(a_3+d)+(a_5+d)+\ldots+(a_{39}+d)$

Учитывая, что в правой части записано 20 скобок, получим:

$S_2=(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{39})+20d$

Скобка в правой части соответствует выражению для $S_1$. Тогда:

$S_2=S_1+20d$

С другой стороны, по условию:

$S_2=S_1+140$

Приравняем правые части двух последних соотношений:

$S_1+20d=S_1+140$

$20d=140$

$d=7$

Теперь рассмотрим, что нам нужно найти:

$a_{15}-a_8=(a_1+14d)-(a_1+7d)=7d$

Подставим известное значение разности:

$a_{15}-a_8=7\cdot7=49$

Ответ: 49