Question

СРОЧНО НУЖНО РЕШЕНИЕ !!! 20 БАЛОВ

Answer 1

$\begin{equation*} \begin{cases} x+y-3z=-1 \\ x-3y+4z=2 \\ x +y-z=1 \end{cases}\end{equation*}$

Решим систему методом Гаусса-Жордана. Его смысл заключается в том, чтобы мы привели расширенную матрицу к ступенчатому виду.

Вот пример такой матрицы:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & |d_1\\ 0 & 1 & 0 & |d_2\\ 0 & 0 & 1 &| d_3\\ \end{array} } \right]\]$, где $d_1$, $d_2$ и $d_3$ - это x, y, z соответственно

Приступим к решению.

Запишем систему в матричном виде:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -3 & |-1\\ 1 & -3 & 4 & |2\\ 1 & 1 & -1 &| 1\\ \end{array} } \right]\]$

Здесь я записал коэффициенты в виде строк. Эти черточки - сплошная линия, просто в компиляторе невозможно записать по-другому, из-за минуса немного ломается вид

Домножаем первую строку на -1 и прибавляем ко второй и к третьей строке:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -3 & |-1\\ 0 & -4 & 7 & |3\\ 0 & 0 & 2 &| 2\\ \end{array} } \right]\]$

Делим третью строку на 2:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -3 & |-1\\ 0 & -4 & 7 & |3\\ 0 & 0 & 1 &| 1\\ \end{array} } \right]\]$

Строку 3 домножаем на 3 и прибавляем к первой строке:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & |2\\ 0 & -4 & 7 & |3\\ 0 & 0 & 1 &| 1\\ \end{array} } \right]\]$

Эту же третью строку домножаем на -7 и прибавляем ко второй строке:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & |2\\ 0 & -4 & 0 & |-4\\ 0 & 0 & 1 &| 1\\ \end{array} } \right]\]$

Теперь делим вторую строку на -4:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & |2\\ 0 & 1 & 0 & |1\\ 0 & 0 & 1 &| 1\\ \end{array} } \right]\]$

Домножаем вторую строку на -1 и складываем с первой строкой:

$\[ \left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & |1\\ 0 & 1 & 0 & |1\\ 0 & 0 & 1 &| 1\\ \end{array} } \right]\]$

Выполняем обратное преобразование, т.е. записываем матрицу в виде системы:

$\begin{equation*} \begin{cases} x=1 \\ y=1 \\ z=1 \end{cases}\end{equation*}$

$(x,y,z)=(1,1,1)$ - упорядоченная тройка чисел

Выполним проверку:

$\begin{equation*} \begin{cases} 1+1-3\times1=-1 \\ 1-3\times1+4\times1=2 \\ 1 +1-1=1 \end{cases}\end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} -1=-1 \\ 2=2 \\ 1=1 \end{cases}\end{equation*}$

Все равенства верны, значит упорядоченная тройка чисел является решением данной системы

Ответ: $(x,y,z)=(1,1,1)$