Question

СРОЧНО , даю 65 баллов
Знайдіть первісну функції f(x)=3x^2-4x+5, графік якої проходить через точку A (2;6)

Answer 1

Ответ

$F(x) = x {}^{3} - 2x^{2} + 5x -</strong><strong> </strong><strong>4</strong><strong>$

Пошаговое объяснение:

$f(x)=3x^2-4x+5$

Найдем общий вид первообразной F(x), такую, что:

F'(x) = f(x)

То есть:

$F(x) = \int f(x)dx = \int(3x^2-4x+5)dx \\ \: F(x) = \int3x^2dx-\int4xdx+ \:\int5dx = \\ = \frac{3x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - \frac{4x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + 5x + C \\ = x {}^{3} - 2x^{2} + 5x + C \: ; \: C \in R \:$

Найдем такую первообразную, график которой проходит через A (2; 6).

То есть при х=2 искомая F(x) равна 6.

И надо найти такое С, при котором

F(2) = 6

$\: F(2) = 2 {}^{3} - 2 \times 2^{2} + 5 \times 2 + C \: \: \\ F(2) = 8 - 2 \times 4 + 5 \times 2 + C \: = \\ = 8 - 8 + 10 + C \\ \: F(2) = 10 + C \: ; \: C \in R \:$

Отсюда:

$F(2) = 6 \\ F(2) = 10 + C \: ; \: C \: \in R = > \\ = > 10 + C = 6 = > \\ = > C = 6 - 10 = - 4$

А значит искомый вид первообразной будет:

$F(x) = 3x {}^{3} - 2x^{2} + 5x - 4$