Question

СРОЧНО 1) Доведи, що при всіх допустимих значеннях х значення виразу



не залежить від значення х;

2) Доведи тотожність:

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Информация. Формулы сокращённого умножения:

a) (a+b)² = a²+2·a·b+b²;

b) a³+b³ = (a+b)·(a²-a·b+b²);

c) (a-b)² = a²-2·a·b+b².

Решение. 1) Требуется доказать, что при всех допустимых значениях х значение выражения

$\tt \displaystyle \bigg ( \frac{3}{x^2-x+1} +\frac{x^2-x-2}{x^3+1} \bigg): \frac{1+x}{x^2-x+1}$

не зависит от значения х.

Применим формулы сокращённого умножения и упростим выражение.

$\tt \displaystyle \bigg ( \frac{3}{x^2-x+1} +\frac{x^2-x-2}{x^3+1} \bigg): \frac{1+x}{x^2-x+1}=\\\\=\bigg ( \frac{3}{x^2-x+1} +\frac{x^2-x-2}{(x+1) \cdot (x^2-x+1)} \bigg) \cdot \frac{x^2-x+1}{1+x}= \\\\=\bigg ( \frac{3 \cdot (x+1) }{(x^2-x+1)\cdot (x+1) } +\frac{x^2-x-2}{(x+1) \cdot (x^2-x+1)} \bigg) \cdot \frac{x^2-x+1}{1+x}= \\\\= \frac{3 \cdot (x+1) +x^2-x-2}{(x^2-x+1)\cdot (x+1) } \cdot \frac{x^2-x+1}{1+x}=$

$\tt =\displaystyle \frac{3 \cdot x+3 +x^2-x-2}{1 \cdot (x+1) } \cdot \frac{1}{1+x}=\frac{x^2+2 \cdot x+1}{ (x+1)\cdot (x+1) } =\frac{x^2+2 \cdot x+1}{x^2+2 \cdot x+1 } =1.$

Так как значение выражения равно 1, выражение не зависит от переменного х.

2) Требуется доказать тождество:

$\tt \displaystyle \frac{12 \cdot x+( 3\cdot x-1)^2}{(3 \cdot x+1)^2 } =1.$

Покажем, что левая часть равна правой части.

$\tt \displaystyle \frac{12 \cdot x+( 3\cdot x-1)^2}{(3 \cdot x+1)^2 } =\frac{12 \cdot x+( 3\cdot x)^2-2 \cdot (3 \cdot x) \cdot 1+1^2}{( 3\cdot x)^2+2 \cdot (3 \cdot x) \cdot 1+1^2} = \\\\=\frac{12 \cdot x+9\cdot x^2-6 \cdot x+1}{ 9\cdot x^2+6 \cdot x+1} =\frac{9\cdot x^2+6 \cdot x+1}{ 9\cdot x^2+6 \cdot x+1} =1,$

что и требовалось доказать.

#SPJ1