Question

  сравнить, используя монотонность функций, с объяснением, а не только ответ (ответ я знаю)

e^П   и П^e

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=frac{ln x}{x}, x>0$

Ее производная

$f'(x)=(frac{lnx}{x})'=frac{(ln x)'x-(x)'ln x)=frac{frac{1}{x}*x-1*ln x}{x^2}=frac{1-ln x}{x^2}$

$f'(x)=0; frac{1-ln x}{x^2}=0; 1-ln x=0;ln x=1; x=e;$

т. х=е - точка єкстремума

при x>e: $f'(x)<0;$ - функция убывает

0<x<e- функция возростает

значит т. х=е - точка максимума

 

значит справедливо неравенство

$e<pi;\\f(e)>f(pi);\\frac{ln e}{e}>frac{pi}{pi};\\pi ln e > e ln pi;\\ln e^{pi}> ln pi^e;\\e^{pi}>(pi)^e$