Question

составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln3x, которая проходит через начало координат

Answer 1

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln3x, которая проходит через начало координат

Заметим, что данная функция не проходит через начало координат, а значит точка О(0;0) не является точкой касания. 

Пусть точка касания А(а;в)

составим уравнение касательной в точке А

$dispaystyle y_{kac}=y(x_0)+y`(x_0)*(x-x_0)$

где y(x0)=в. x0=a

$dispaystyle y`(x)=(ln3x)`= frac{1}{3x}*3= frac{1}{x}$

тогда уравнение касательной будет выглядеть так: 
$dispaystyle y_{kac}=b+ frac{1}{a}(x-a)$

и эта прямая проходит через точку О(0;0)
подставим эти координаты

$dispaystyle 0=b+ frac{1}{a}(0-a)=b-1\b=1$

тогда уравнение касательной примет вид

$dispaystyle y_{kac}=1+ frac{1}{a}(x-a)=1+ frac{x}{a}-1= frac{x}{a}$

Так как касательная у нас проведена к нашей функции то у них есть общая точка пересечения

$dispaystyle frac{x}{a}=ln3x$

т.к. в=1, то а=е/3 (ln3x=1: 3x=e; x=e/3)

тогда

$dispaystyle frac{e}{3a}=ln(3* frac{e}{3})\ frac{e}{3a}=1\a= frac{e}{3}$

 и тогда точка касания А(е/3;1)
уравнение касательной 
$dispaystyle y=frac{x}{e/3}= frac{3x}{e}$

Answer 2

спасибо!!! как всегда - круто!!!!