Question

сможете решить?!

$intlimits^1_0 {xsqrt{1+xdx }}$

Answer 1

Это подстановка Чебышева. (Дополнительно о подстановке смотрите на фото в приложении).

Перепишем наш интеграл применив свойства степени.

$displaystyleintlimits^1_0 {x(x+1)^{0.5}} , dx$

Очевидно, что нам подходит 2) ведь $frac{m+1}{n}=frac{1+1}{1}=2inmathbb{Z}$. Значит будем использовать замену $x+1=t^2$ и тогда, дифференцируя: $dx=2tdt$, получим

$displaystyle intlimits^{1}_0 xsqrt{1+x}dx=-intlimits^{sqrt{2}}_1 (1-t^2)tcdot 2tdt =intlimits^{sqrt{2}}_1(2t^4-2t^2)dt=bigg(frac{2t^5}{5}-frac{2t^3}{3}bigg)bigg|^{sqrt{2}}_1=\ \ =2t^3bigg(frac{t^2}{5}-frac{1}{3} bigg)bigg|^{sqrt{2}}_1=4sqrt{2}bigg(frac{2}{5} -frac{1}{3} bigg)-2bigg(frac{1}{5}-frac{1}{3}bigg) =frac{4(sqrt{2}+1)}{15}$