Question

сколько целых значений может принимать выражение: 8sin^2(10x)-3sin10x

Answer 1

После замены t = sin10x имеем квадратный трёхчлен 8t^2-3t, нужно найти множество его значений, если t изменяется от -1 до 1.
Для этого, например, можно сравнить значения в вершине параболы (t=3/16) и на концах. 
В вершине будет минимум -9/32
На концах: t=1 значение 5; t=-1 значение 11 - максимум!
Область значений [-9/32, 11]. Целые значения: 0, 1, 2, ..., 11 - всего 12 значений.