Question

(sinx+√3cosx)^2 - 5 = cos (π/6-x)
помогите решить, пожалуйста

Answer 1

sinx+√3cosx=2(1/2*sinx+√3/2*cosx=2cos(π/6-x)
---------------------------------------------
4cos²(π/6-x)-5=cos(π/6-x)
cos(π/6-x)=a
4a²-a-5=0
D=1+80=81
a1=(1-9)/8=-1
cos(π/6-x)=-1
cos(π/6-x)=cos(x-π/6)
x-π/6=π+2πk
x=7π/6+2πk,k∈z
a2=(1+9)/8=1,25
cos(π/6-x)=1,25>1 нет решения

Answer 2

спасибо

Answer 3

$(sinx+sqrt{3}cosx)^2-5=cos(frac{pi}{6}-x)$

предлагаю вначале разобраться с тем, что такое есть выражение $sinx+sqrt{3}cosx$: попытаемся вынести двойку за скобки, тогда $sinx+sqrt{3}cosx=2(frac{1}{2}sinx+frac{sqrt{3}}{2}cosx)=2(sin(frac{pi}{6})sinx+cos(frac{pi}{6})cosx)$; а теперь вспоминаем, что $sinasinx+cosacosx=cos(a-x)$, и всё становится на места, ведь $2(sin(frac{pi}{6})sinx+cos(frac{pi}{6})cosx)=2cos(frac{pi}{6}-x)$

переписываем: 
$(2cos(frac{pi}{6}-x))^2-5=cos(frac{pi}{6}-x)$

упрощаем и снова переписываем: 
$4cos^2(frac{pi}{6}-x)-5=cos(frac{pi}{6}-x)$

уравнение квадратное, поэтому приводим его к стандартному виду: 
$4cos^2(frac{pi}{6}-x)-cos(frac{pi}{6}-x)-5=0$

вычисляем дискриминант: 
$D=(-1)^2-4*4*(-5)=1+80=81=9^2$

ищем корни: $cos(frac{pi}{6}-x)=frac{1б9}{8}$, следовательно, $left[begin{array}{ccc}cos(frac{pi}{6}-x)=frac{1+9}{8}=frac{10}{8}\cos(frac{pi}{6}-x)=frac{1-9}{8}=-1end{array}right$

первое уравнение совокупности решений не имеет, поскольку значение косинуса превышает единицу, чего быть не может в принципе; решаем уравнение $cos(frac{pi}{6}-x)=-1$: 
$frac{pi}{6}-x=pi+2pi n$, следовательно, $x=-frac{5pi}{6}-2pi n$, где $n$, разумеется, целое число