Question

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых.

Answer 1

Определение:
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости, т.е. не параллельны и не пересекаются.

Признак скрещивающихся прямых:
Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: a⊂α, b∩α = M, M∉a.

Доказать: прямые а и b скрещивающиеся.

Доказательство:

Предположим, что прямые а и b не являются скрещивающимися, тогда через них можно провести плоскость. В этой плоскости окажется и точка М. Но через прямую а и точку М можно провести единственную плоскость. Значит, плоскость, проходящая через прямые а и b совпадает с плоскостью α. Но тогда прямая b лежит в плоскости α. Это противоречит условию: прямая b пересекает плоскость α.
Предположение неверно, прямые а и b скрещивающиеся.