Question

сформулируйте и докажите теорему выражающую первый признак подобия треугольников

Answer 1

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники являются подобными

Доказательство:

Пусть $angle A=angle A_1,~angle B=angle B_1.$ Так как сумма углов треугольника равна 180°, то для треугольников ABC и A₁B₁C₁ можем записать равенства:

$angle A+angle B+angle C=180а,~~~~ angle A_1+angle B_1+angle C_1=180а$

Выражаем из первого равенства угол С, а из второго равенства угол C₁, получим :

$angle C=180а-angle A-angle B,~~~ angle C_1=180а-angle A_1-angle B_1$, тогда $angle C=angle C_1$, то есть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ углы соответственно равны.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы.

То есть, $displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} =dfrac{ACcdot AB}{A_1C_1cdot A_1B_1}$ - для $angle A=angle A_1$

Так как $angle C=angle C_1$, то $displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} =frac{CBcdot CA}{C_1B_1cdot C_1A_1}$

Приравнивая, получим $displaystyle frac{CBcdot CA}{C_1B_1cdot C_1A_1} =frac{ACcdot AB}{A_1C_1cdot A_1B_1}$, получим $displaystyle frac{AB}{A_1B_1}=frac{BC}{B_1C_1}$

Аналогично для ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, имеет место равенство $displaystyle frac{AC}{A_1C_1}=frac{BC}{B_1C_1}$

Следовательно, $dfrac{AC}{A_1C_1}=dfrac{BC}{B_1C_1} =dfrac{AB}{A_1B_1}$, то есть получили что стороны треугольников пропорциональны.