Question

С1

 Решить уравнение (1/2)sin2x+sin^2x-sinx=cosx

 И указать корни уравнения на отрезке [-2π;-π/2]

Answer 1

$tt frac{1}{2} sin 2x+sin^2x-sin x=cos x\ \ frac{1}{2} cdot 2sin xcos x+sin^2x-sin x-cos x=0\ \ sin xcos x+sin^2x-sin x-cos x=0\ \ sin x(cos x+sin x)-(cos x+sin x)=0\ \ (cos x+sin x)(sin x-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$tt sin x+cos x=0$ (*)

При х=π/2 имеет 1=0 - не верно, значит имеем право разделить левую и правую части уравнения (*) на cosx≠0.

$tt tgx=-1\ \ boxed{tt x=-frac{pi}{4} +pi n,n in mathbb{Z}}\ \ sin x-1=0\ sin x=1\ \ boxed{tt x=frac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}}$

Отбор корней на отрезке [-2π;-π/2].

1. Если n=-1, то $boxed{tt x=-frac{pi}{4} -pi =-frac{5pi}{4}}$

2. Если k=-1, то $boxed{tt x=frac{pi}{2} -2pi =-frac{3pi}{2}}$

Answer 2

$dfrac{1}{2} sin2x+sin^2x-sinx=cosx\ dfrac{1}{2} cdot 2sin xcosx+sin^2x-sin x - cos x =0\ sinx(cosx + sinx) - (sinx + cos x) = 0\ (sinx - 1)(cos x + sin x) = 0\ 1)~~sin x - 1 = 0; ~~~sin x = 1; ~~~ boxed {x_1 = dfrac{pi}{2}+2pi n, n in Z}$

$2)~~ cos x + sin x = 0; ~~~big| cdot dfrac{sqrt{2}}{2} \dfrac{sqrt{2}}{2}cos x + dfrac{sqrt{2}}{2}sinx = 0 \ \ sindfrac{pi}{4}cdot cosx +cosdfrac{pi }{4} cdot sin x=0\ \ sin(x+dfrac{pi }{4})=0\ \ x+dfrac{pi }{4}=pi k;~~boxed{x_2=-dfrac {pi }{4}+pi k,k in Z}$

Kорни уравнения на отрезке [-2π;-π/2]. Выбор корней на единичной окружности.

x₁ = -3π/2; x₂ = -5π/4;