Question

Розв'яжіть рівняння |x-1|+|x-2|=x

Answer 1

Ответ:

1; 3

Пошаговое объяснение:

Разобьем числовую прямую на три промежутка двумя точками, в которых модули обращаются в 0, т. е. точками 1 и 2, и рассмотрим данное уравнение на каждом из промежутков.

Сами точки 1 и 2 тоже следует включить по одному разу в какой-то из промежутков. В решении они обе включены во второй. Если включить их как-то иначе, на ответ задачи это не повлияет.

1) $x < 1$

Тогда $\left| {x - 1} \right| = 1 - x,$ $\left| {x - 2} \right| = 2 - x,$ значит

$1 - x + 2 - x = x,$

$3x = 3,$

$x = 1.$

Найденное значение не находится в промежутке $x < 1,$ поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.

2) $1 \le x \le 2$

Тогда $\left| {x - 1} \right| = x - 1,$ $\left| {x - 2} \right| = 2 - x,$ значит

$x - 1 + 2 - x = x,$

$x = 1.$

Найденное значение принадлежит промежутку $1 \le x \le 2,$ поэтому $x = 1$ — корень.

3) $x > 2$

Тогда $\left| {x - 1} \right| = x - 1,$ $\left| {x - 2} \right| = x - 2,$ значит

$x - 1 + x - 2 = x,$

$x = 3.$

Найденное значение принадлежит промежутку $x > 2,$ поэтому $x = 3$ — корень.