Question

Розв’язати рівняння: $(cos2pi -cos2x)cosx=sinx$

. У відповідь запишіть кількість коренів рівняння, які належать проміжку [-2π;2π]

Answer 1

$(cos 2pi -cos 2x) cos x = sin x$

$(1 -cos^{2}x + sin^{2}x) cos x = sin x$

$(sin^{2}x + sin^{2}x) cos x = sin x$

$2sin^{2}x cos x - sin x = 0$

$sin x (2sin x cos x - 1) = 0$

$text{I}) sin x = 0$

$x = pi n, n in Z$

$text{II}) 2sin xcos x - 1 = 0$

$sin 2x = 1$

$2x = dfrac{pi }{2} + 2pi n, n in Z$

$x = dfrac{pi }{4} + pi n, n in Z$

Розглянемо проміжок $[-2pi; 2pi]$

Скористаємося методом перебору коренів:

Якщо $n = 0$, то $x_{1} = 0; x_{2} = dfrac{pi }{4}$

Якщо $n = 1$, то $x_{1} = pi ; x_{2} = dfrac{pi }{4} + pi = dfrac{5pi }{4}$

Якщо $n = 2$, то $x_{1} = 2pi ; x_{2} = dfrac{pi }{4} + 2pi = dfrac{9pi }{4} notin [-2pi ; 2pi]$

Якщо $n = -1$, то $x_{1} = -pi ; x_{2} = dfrac{pi }{4} - pi = -dfrac{3pi }{4}$

Якщо $n = -2$, то $x_{1} = -2pi ; x_{2} = dfrac{pi }{4} - 2pi = -dfrac{7pi }{4}$

Отже, загальна кількість коренів, що входять у проміжок $[-2pi; 2pi]$, дорівнює 9.

Відповідь: 9