Question

Розкласти в ряд Фур'є по косинусам функцію f(x)=x*cos(x) на інтервалі (0;pi)

Answer 1

1. Обчислити коефіцієнт a₀:

  a₀ = (2 / π) * ∫[0, π] (x * cos(x)) dx

2. Обчислити коефіцієнти aₙ:

  aₙ = (2 / π) * ∫[0, π] (x * cos(x) * cos(n * x)) dx, для n = 1, 2, 3, ...

Отримані значення коефіцієнтів a₀ та aₙ використовуються для побудови ряду Фур'є для функції f(x) = x * cos(x) на інтервалі (0, pi).


----------------------------------------------------------------------------------------------------------

коефіцієнт a₀
a₀ = (2 / π) * ∫[0, π] (x * cos(x) * cos(0 * x)) dx
a₀ = (2 / π) * ∫[0, π] (x * cos(x) * 1) dx
a₀ = (2 / π) * ∫[0, π] (x * cos(x)) dx












коефіцієнт aₙ

aₙ = (2 / π) * ∫[0, π] (x * cos(x) * cos(n * x)) dx, для n = 1, 2, 3, ...

cos(a) * cos(b) = (1/2) * (cos(a - b) + cos(a + b))

x * cos(x) * cos(n * x) = (1/2) * x * (cos((n-1) * x) + cos((n+1) * x))
aₙ = (2 / π) * ∫[0, π] (1/2) * x * (cos((n-1) * x) + cos((n+1) * x)) dx