Question

Розкладання в ряд Тейлора –Маклорена фунції y= sin x.
2 задание на картинке

Answer 1

Ответ:

1)   $\displaystyle \boldsymbol { sin(x)=x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +...+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}* x^{(2n-1)}}$

2)    $\displaystyle \boldsymbol { \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2+x-6} =\frac{4}{5}}$

Пошаговое объяснение:

Розкладання в ряд Тейлора –Маклорена фунції y= sin x - это ростейшее табличное разложение синуса в степенной ряд/

$\displaystyle sin(x)=x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +...+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}* x^{(2n-1)}$

3) Поскольку и числитель и знаменатель обращаются в 0 при х = 2, число х=2 является одним из корней обоих уравнений.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

(x² - 4 ) = (x +2)(x - 2)

x² +x - 6 = (x-2)(x+3)

$\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& & & x^2& +x &-6 & & \;(x-2) \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & & & x^2 & -2x& & & \; x+3\\\cline{1-5} & & & & 3x & -6 \\\cline{4-4} & & & & 6x & -6 \\\cline{3-6} & & & & & 0 \\\end{array}$

И тогда мы легко считаем предел

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2+x-6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\lim_{x \to 2} \frac{(x+2)}{(x+3)}=\frac{4}{5}$

#SPJ1