Решите задание по векторам
Ответы на вопрос
Даны вершины треугольника АВС: А(1; 0), В(-1; 4), С(9; 5).
1) Уравнение прямой AB.
Вектор АВ = (-1-1=-2; 4-0=4) = (-2; 4).
Каноническое уравнение прямой: (x - 1)/(-2) = y /4 .
4х - 4 = -2у или 4х + 2у - 4 = 0. Сократим на 2:
2х + y - 2 = 0 это общее уравнение. Коэффициенты: А = 2, В = 1, С = -2.
у = -2х + 2 это уравнение с угловым коэффициентом.
2) Уравнение высоты СН.
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
(x - x0)/A = (y - y0)/B
Найдем уравнение высоты через вершину C
(x - 9)2 = (y - )/1
y = 1/2x + 1/2 или 2y -x - 1 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = -2x + 2, т.е. k1 = -2
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
-2k = -1, откуда k = 1/2
Так как перпендикуляр проходит через точку C(9,5) и имеет k = 1/2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 9, k = 1/2, y0 = 5 получим:
y-5 = 1/2(x-9)
или
y = 1/2x + 1/2 или 2y -x - 1 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y + 2x - 2 = 0
2y -x - 1 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 3/5
y = 4/5
Н(3/5;4/5)
3) Уравнение медианы АМ.
Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. В (-1; 4), С (9; 5).
xm = (xB + xС)/2 = (-1 + 9)/2 = 4.
ym = (yB + yС)/2 =(4 + 5)/2 = 4,5.
M(4; 4,5).
Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А(1; 0) и М(4; 4,5), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
(x - 1)/(4 - 1) = y /(4,5 - 0)
или (x - 1)/3 = y/(4,5) это каноническое уравнение.
3x - 2у - 3 = 0 это общее уравнение.
у = (3/2)х - (3/2) это уравнение с угловым коэффициентом.
4) ) Уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку С(9,5)
Уравнение прямой AB: y = -2x + 2
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:
y - y0 = k(x - x0)
Подставляя x0 = 9, k = -2, y0 = 5 получим:
y-5 = -2(x-9)
или
y = -2x + 23 или y + 2x - 23 = 0.