Question

Решите уравнение
$[x]^{[x]} =256$

Answer 1

Ответ:

[4; 5)

Объяснение:

Исследуем функцию $f(x)=x^x=e^{\ln{x^x}}=e^{x\ln{x}}$

$f'(x)=e^{x\ln{x}}\cdot (x\ln{x})'=x^x\cdot \left(1\cdot\ln{x}+x\cdot\dfrac{1}{x}\right)=x^x\cdot (\ln{x}+1)$

Найдём нули производной:

$x^x>0\\\ln{x}+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}\\0<\dfrac{1}{e}<1$

При $0<x<\dfrac{1}{e}$ производная отрицательна — функция убывает, при $x> \dfrac{1}{e}$ производная положительна — функция возрастает. $x=\dfrac{1}{e}$ — точка минимума.

Также заметим, что $\lim_{x \to 0^+} x^x=1$

Исходя из этих рассуждений, уравнение $x^x=a$ имеет:

1. 0 корней при $a<\left(\dfrac{1}{e}\right)^\dfrac{1}{e}$

2. 1 корень при $a=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{\dfrac{1}{e}}, a\geq 1$

3. 2 корня при $\left(\dfrac{1}{e}\right)^{\dfrac{1}{e}}<a<1$

Наше a = 256 > 1, значит, уравнение относительно [x] имеет один корень. Этот корень равен 4. Действительно, 4⁴ = 256. Тогда [x] = 4.

Такое могло получится, когда число имело вид 4,... То есть

$[x]\leq x<[x]+1\Leftrightarrow 4\leq x<5$