Question

Решите уравнение
$\sqrt[n]{9x+21}+\sqrt[n]{x+11}=\sqrt[n]{8x+19}+\sqrt[n]{2x+13}.$

Answer 1

Ответ:

Если $n$ - четно:

$x_{1} = -2\\x_{2} = -\frac{8}{7}$

Если $n$ - нечетно:

$x_{1} = -2\\x_{2} = -\frac{8}{7}\\x_{3} = -\frac{16}{5}$

Объяснение:

Рассмотрим функцию:

$f(t) = \sqrt[n]{t + \frac{1}{2} } - \sqrt[n]{t - \frac{1}{2} }$, где $n$ - натуральное число, $n\geq 2$

В принципе интуитивно ясно, что если $t\geq 0$, то чем выше число $t$, тем меньше радикалы этих $n$- степеней отличны друг от друга, иначе говоря, на промежутке

Докажем это строго.

Найдем производную функции $f(t)$:

$f'(t) = \frac{1}{n} ( \frac{1}{(t+\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }} - \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }} )$

Поскольку мы рассматриваем $t\geq 0$ при нечетном $n$ и  $t\geq \frac{1}{2}$ при четном $n$, то в любом случае верно неравенство:

$|t+\frac{1}{2}| \geq |t-\frac{1}{2}|$, а значит в независимости от четности $n$ и $n-1$ будет справедлива следующая цепочка неравенств (в которой все выражения определены):

$\\(t+\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} } \geq (t-\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }\\\\\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }} \leq \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }} \\\\\frac{1}{n} ( \frac{1}{(t+\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }} - \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^{\frac{n-1}{n} }} ) \leq 0$

Как видим, при $t\geq 0$ функция монотонно убывает при любом нечетном натуральном $n$.

При четном $n$ функция определена только для $t\geq \frac{1}{2}$, а значит она монотонно убывает в этой области.

При нечетном $n$ можно заметить, что функция $f(t)$ является четной, действительно, ведь:

$f(-t) = \sqrt[n]{\frac{1}{2} - t} - \sqrt[n]{-t - \frac{1}{2} } = \sqrt[n]{t + \frac{1}{2} } - \sqrt[n]{t - \frac{1}{2} } = f(t)$

Поскольку : $\sqrt[n]{-1} = - 1$ при нечетном $n$.

Доказанные выше свойства пригодятся нам в дальнейшем.

Приступим теперь к решению уравнения.

Рассмотрим вариант когда $n$ - четно.  ОДЗ: $-\frac{7}{3} \leq x$

$1.$ {Пусть: $x\geq -2$

$\sqrt[n]{9x+21} + \sqrt[n]{x+11} = \sqrt[n]{8x+19} + \sqrt[n]{2x+13}\\\sqrt[n]{(8x+19) + (x+2)} - \sqrt[n]{8x+19} = \sqrt[n]{(x+11) +(x+2)} -\sqrt[n]{x+11}$

Заметим, что $x = -2$ - корень уравнения.

Запомним это.

Предположим, что $x\neq 2$, тогда делим обе части уравнения на $\sqrt[n]{x+2}$   при этом лишнее ограничение не прибавляется, ибо $x\geq -2$ .  Обозначим:

$\frac{8x+19}{x+2} + \frac{1}{2} = a\\\frac{x+11}{x+2} + \frac{1}{2} = b$

Тогда получаем:

$\sqrt[n]{a + \frac{1}{2} } - \sqrt[n]{a - \frac{1}{2} } = \sqrt[n]{b + \frac{1}{2} } - \sqrt[n]{b - \frac{1}{2} }\\ f(a) = f(b)$ }

Функция  $f(t)$  монотонно убывает на области определения, тогда из равенства значений функций cледует равенство аргументов:

$a = b\\\frac{8x+19}{x+2} + \frac{1}{2} = \frac{x+11}{x+2} + \frac{1}{2}\\8x + 19 = x + 11\\x = -\frac{8}{7} > -2$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

В данном случае необходимо проверить, что аргумент $b$ функции $f(t)$удовлетворяет ее области определения:

$\frac{x+11}{x+2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \\1 + \frac{9}{x+2} \geq 0\\\frac{9}{x+2} \geq -1\\\frac{9}{2 - \frac{8}{7} } = \frac{63}{6} > - 1$

Все верно.

$2.$ Предположим, что $-\frac{7}{3} \leq x < -2$.

В этом случае немного изменим тактику решения:

$\sqrt[n]{9x+21} + \sqrt[n]{x+11} = \sqrt[n]{8x+19} + \sqrt[n]{2x+13}\\\sqrt[n]{(9x+21) -(x+2)} - \sqrt[n]{9x+21} = \sqrt[n]{(2x+13) -(x+2)} -\sqrt[n]{2x+13}$

В этот раз поделим обе части уравнения на $\sqrt[n]{-(x+2)}$, поскольку  $x<-2$, то  $-(x+2) > 0$, то есть лишнее ограничение в этом случае не появится.

Аналогично обозначаем:

$-\frac{9x+21}{x+2} + \frac{1}{2} = g\\-\frac{2x+13}{x+2} + \frac{1}{2} = r$

Откуда по тем же рассуждениям получаем:

$f(g) = f(r)\\-\frac{9x+21}{x+2} + \frac{1}{2} = -\frac{2x+13}{x+2} + \frac{1}{2} \\7x + 8 = 0\\x =- \frac{8}{7}$

Полученный корень уже был, причем в этом случае он не удовлетворяет условию: $-\frac{7}{3} \leq x< -2$.

Предположим, что $n$ - нечетно.

Воспользуемся результатом в пункте $1.$ для четного $n$, но уже при произвольном $x$, который отмечен фигурными скобками {...}.                   В этом случае из-за четности функции и монотонном убывании при $t\geq 0$ при движении от $0$ и влево и вправо функция cимметрично монотонно убывает.

Иначе говоря, из равенства значений функций следует равенство модулей их аргументов:

$|a| = |b|\\1. \frac{8x+19}{x+2} + \frac{1}{2} = \frac{x+11}{x+2} + \frac{1}{2}\\8x + 19 = x + 11\\x = -\frac{8}{7}\\2. \frac{8x+19}{x+2} + \frac{1}{2} = -\frac{x+11}{x+2} - \frac{1}{2}\\ \frac{9x+30}{x+2} + 1 = 0\\10x + 32 = 0\\x = -\frac{32}{10} = -\frac{16}{5}$