Question

Решите уравнение $2x+|ax-4|=0$ при всех значениях параметра a.

Answer 1

$2x+|ax-4|=0\ |ax-4|=-2x$

При условии, что правая часть $xleq 0$ , возведем обе части уравнения в квадрат, получим

$(ax-4)^2=4x^2\ (ax-4)^2-4x^2=0\ (ax-4-2x)(ax-4+2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x(a-2)-4=0~~~Rightarrow~~~ x=frac{4}{a-2} \ x(a+2)-4=0~~~Rightarrow~~~ x=frac{4}{a+2}$

При этом нужно удостоверится, что эти корни будут принадлежать условию x≤0, то есть, нужно решить следующие неравенства:

$frac{4}{a-2} leq 0$ - зависит от знаменателя, то есть $a-2<0$ откуда $a<2$

$frac{4}{a+2} leq 0$ также зависит от знаменателя, т.е. $a+2<0$ откуда $a<-2$

При $a in (-infty;-2)$ уравнение имеет два корня $x=frac{4}{apm 2}$

При $a in (-2;2)$ уравнение имеет одно решение $x=frac{4}{a-2}$

При $a in[2;+infty)$ уравнение действительных корня не имеет

При $a=-2$ уравнение имеет единственный корень $x=-1$

Answer 2

Большое спасибо за помощь! А откуда у нас условие, что x≤0?

Answer 3

Правая часть уравнения -2x>=0 откуда x<=0

Answer 4

Ведь в обратном уравнение решений не имеет

Answer 5

Точно, спасибо! А почему в ответе мы проверяем -2, но не проверяем 2?

Answer 6

Можете проверить) уравнение решений не имеет что из промежутке (2;+бесконечность) двойку надо включить