Question

Решите уравнение сos10X_2sin^2 5X=2sinX на отрезке [0;п2]
При каком значении a уровнение X^4-8x^3-8x^2+96x+a= 0 имеет три ?
Помогите пожалуйста очень важно!

Answer 1

$cos10x+2sin^25x=2sinx,; ; [0,frac{pi}{2}]\\Formyla: sin^2 alpha =frac{1-cos2 alpha }{2}to ; cos2 alpha =1-2sin^2 alpha ,; alpha =5x,; 2 alpha =10x\\(1-2sin^25x)+2sin^25x=2sinx,\\2sinx=1\\sinx=frac{1}{2},\\x=(-1)^{n}frac{pi}{6}+pi n,nin Z\\x=frac{pi}{6}in [0,frac{pi}{2}]$

$2)quad x^4-8x^3-8x^2+96x+a=0\\f(x)=x^4-8x^3-8x^2+96x=-a\\f'(x)=4x^3-24x^2-19x+96=0; to \\f'(x)=(x-6)(4x^2-16)=4(x-6)(x-2)(x+2)=0\\x_1=-2,x_2=2,x_3=6\\- - - - -(-2)+ + + +(2)- - - -(6)++ + + +$

Там, где знак производной минус, там функция убывает, где  плюс, там возрастает.
Поэтому есть экстремумы.Минимумы при х=-2 и х=6, максимумы при х=2.Функция принимает значения    
  f(min)=f(-2)=f(6)=-144,  f(max)=f(2)=112
Тогда график будет иметь вид как у синусоиды (нетрудно по точкам построить самому) ; одна из точек пересечения с осью ОХ будет (0,0), другие 3 точки будут между  х=2 и х=6; после х=6 и перед х=-2. График функции у= -а  -  это прямая, параллельная оси ОХ. Пересечение графиков функций у=f(x)  и  у=-а    в трёх точках будет только для прямой  у=112, тогда  а= -112. И соответственно три решения будут при а= -112.