Question

решите уравнение 2cosx+2=sin2x+2sinx

Answer 1

2cos x + 2 - 2sin x cos x - 2sin x = 0
2 cos x + 1 + sin²x - 2sin x cos x + cos²x - 2sin x = 0
2(cos x - sin x) + (cos x - sin x)² + 1 = 0
Пусть cos x - sin x = t, тогда
t² + 2t + 1 =0
(t + 1)² = 0
t = -1
sin x - cos x = 1
$2sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} -cos^2\frac{x}{2} +sin^2 \frac{x}{2} =sin^2\frac{x}{2} +cos^2\frac{x}{2}$
$2sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} -cos^2\frac{x}{2} -2cos^2\frac{x}{2} =0$
$cos \frac{x}{2} (sin \frac{x}{2} -cos \frac{x}{2} )=0$
$cos \frac{x}{2} =0$ или $sin \frac{x}{2} -cos \frac{x}{2} =0$
$\frac{x}{2} = \frac{ \pi }{2} + \pi k$ или $tg \frac{x}{2} =1$
$x= \pi +2 \pi k$ или $\frac{x}{2}= \frac{ \pi }{4} + \pi n$
                                  $x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
Ответ: $\pi +2 \pi k;\frac{ \pi }{2} +2 \pi n,\ k,n \in Z$