Question

Решите систему всеми методами (крамер, метод обратной матрицы и так далее

Answer 1

Крамера:
Вычисляем главный определитель системы, вычислять определитель будем методом треугольников:
$detA=left|begin{array}{ccc}4&-2&-3\8&-2&-4\7&-2&-1end{array}right|=\=4*(-2)*(-1)+(-2)*7*(-4)+8*(-3)*(-2)-\-((-3)*(-2)*7+(-2)*(-1)*8+4*(-2)*(-4))=\=8+56+48-42-16-32=22$
Главный определитель системы не равен нулю, значит она имеет единственное решение.
Заменим 1 столбец на столбец из констант и вычислим определитель, то же проделаем и со вторым и с 3 столбцом:
$detA_x= left|begin{array}{ccc}1&-2&-3\2&-2&-4\-1&-2&-1end{array}right |=2-8+12+6-8-4=0$

$detA_y=left|begin{array}{ccc}4&1&-3\8&2&-4\7&-1&-1end{array}right|=-8-28+24+42-16+8=22$

$detA_z=left|begin{array}{ccc}4&-2&1\8&-2&2\7&-2&-1end{array}right|=8-28-16+14+16-16=-22$
Находим х, y, z:
$x=frac{|A_x|}{|A|}=frac{0}{22}=0\y=frac{|A_y|}{|A|}=frac{22}{22}=1\z=frac{|A_z|}{|A|}=frac{-22}{22}=-1$








Метод обратной матрицы:
Матрица А:
$A=left(begin{array}{ccc}4&-2&-3\8&-2&-4\7&-2&-1end{array}right)$
Столбец неизвестных X:
$X=left(begin{array}{ccc}x\y\zend{array}right)$
Столбец констант:
$b=left(begin{array}{ccc}1\2\-1end{array}right)$
Обратную матрицу находим по формуле:
$A^{-1}=frac{1}{|A|}*A^T_m$
Где $A^T_m$ - транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Находим определитель матрицы А:
$detA=left|begin{array}{ccc}4&-2&-3\8&-2&-4\7&-2&-1end{array}right|=22$

Находим $A^T_m$. Для этого находим все миноры 2-ого порядка:
$A_{11}=(-1)^{1+1}* left|begin{array}{ccc}-2&-4\-2&-1end{array}right|=2-8=-6\A_{12}=(-1)^{1+2}*left|begin{array}{ccc}8&-4\7&-1end{array}right|=-(-8+28)=-20\A_{13}=(-1)^{1+3}*left|begin{array}{ccc}8&-2\7&-2end{array}right| =-16+14=-2\A_{21}=(-1)^{2+1}*left|begin{array}{ccc}-2&-3\-2&-1end{array}right|=-(2-6)=4\A_{22}=(-1)^{2+2}*left|begin{array}{ccc}4&-3\7&-1end{array}right|=-4+21=17\A_{23}=(-1)^{2+3}*left|begin{array}{ccc}4&-2\7&-2end{array}right|=-(-8+14)=-6$
$A_{31}=(-1)^{3+1}*left|begin{array}{ccc}-2&-3\-2&-4end{array}right|=8-6=2\A_{32}=(-1)^{3+2}*left|begin{array}{ccc}4&-3\8&-4end{array}right|=-(-16+24)=-8\A_{33}=(-1)^{3+3}*left|begin{array}{ccc}4&-2\8&-2end{array}right|=-8+16=8$
$A_m^T= left(begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{32}&A_{33}end{array}right)^T= left(begin{array}{ccc}-6&-20&-2\4&17&-6\2&-8&8end{array}right)^T=\= left(begin{array}{ccc}-6&4&2\-20&17&-8\2&-8&8end{array}right)$
Находим $A^{-1}$:
$A^{-1}=frac{1}{|A|}*A^T_m=frac{1}{22}*left(begin{array}{ccc}-6&4&2\-20&17&-8\2&-8&8end{array}right)$


$X= left(begin{array}{ccc}x\y\zend{array}right) =A^{-1}b=frac{1}{22}*left(begin{array}{ccc}-6&4&2\-20&17&-8\2&-8&8end{array}right)* left(begin{array}{ccc}1\2\-1end{array}right)=\=frac{1}{22}* left(begin{array}{ccc}-6*1+4*2+2*(-1)\-20*1+17*2+(-8)*(-1)\2*1+(-8)*2+8*(-1)end{array}right)=frac{1}{22}* left(begin{array}{ccc}0\22\-22end{array}right)= left(begin{array}{ccc}0\1\-1end{array}right)$







Метод Гаусса:
Записываем расширенную матрицу (A|b) и приводим матрицу A к верхнему треугольному виду путём элементарных преобразований.
1) Отнимаем от 2 строки 3-ю, после меняем 1 и 2 строки.
$left(begin{array}{ccc}4&-2&-3\8&-2&-4\7&-2&-1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}1\2\-1end{array}right)= left(begin{array}{ccc}4&-2&-3\1&0&-3\7&-2&-1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}1\3\-1end{array}right)=\= left(begin{array}{ccc}1&0&-3\4&-2&-3\7&-2&-1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\1\-1end{array}right)$

2) Отнимаем от второй первую строку умноженную на 4, после от 3-ей первую строку умноженную на 7.
$left(begin{array}{ccc}1&0&-3\4&-2&-3\7&-2&-1end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\1\-1end{array}right)=left(begin{array}{ccc}1&0&-3\0&-2&9\0&-2&20end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\-11\-22end{array}right)$

3) от 3-ей отнимаем вторую.
$left(begin{array}{ccc}1&0&-3\0&-2&9\0&-2&20end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\-11\-22end{array}right)=left(begin{array}{ccc}1&0&-3\0&-2&9\0&0&11end{array}right| leftbegin{array}{ccc}3\-11\-11end{array}right)$


Дальше применяем обратный ход. То есть мы получили такую систему(эквивалентную нашей изначальной):
{1·x+0·y-3·z=3
{     -2·y+9·z=-11
{             11z=-11

$z=frac{-11}{11}=-1$

$-2y+9*(-1)=-11\-2y=-2\y=1$

$x+0-3*(-1)=3\x=0$





Есть ещё метод Гаусса-Жордана, мы как и в методе Гаусса строим расширенную матрицу,а потом уже приводим A к единичному виду. После этого столбец b и будет решением. Это одна из разновидностей метода Гаусса, поэтому я не буду её писать)

Answer 2

не много не понял про обратную матрицу

Answer 3

что именно?