Question

Решите систему , НЕ графическим методом , первый корень найти легко он красивый , найдите точное значение второго
$\left \{ \begin{array}{l} x^2+ y^2 = 4 \\\\ y - x^2 = 4- 4x \end{array}$

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{x^2+y^2=4} \atop {y-x^2=4-4x}} \right.~~\Rightarrow~~\left \{ {{x^2-4+(x-2)^2=0} \atop {y=(x-2)^2}} \right.$

$(x-2)(x+2)+(x-2)^4=0$

$(x-2)(x+2+(x-2)^3)=0$

Находим $x_1=2$;  $y_1=0$

$x+2+(x-2)^3=0$

$x^3-6x^2+12x-8+x+2=0$

$x^3-6x^2+13x-6=0$

По формуле Кардано

$x_2=\dfrac{6+\sqrt[3]{-54+3\sqrt{327}}+\sqrt[3]{-54-3\sqrt{327}}}{3}$

Тогда $y_2=\dfrac{-6+\sqrt[3]{-5859-324\sqrt{327}}+\sqrt[3]{5859+324\sqrt{327}}}{9}$

Answer 2

Ответ:

$x=\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2$

$y=\sqrt[3]{\frac{217}{27}-\frac{4\sqrt{327} }{9} } +\sqrt[3]{\frac{217}{27}+\frac{4\sqrt{327} }{9} } -\frac{2}{3}$

Объяснение:

$\left \{ {{x^2 + y^2 = 4} \atop {y - x^2 =4-4x}} \right.$

• Не нашел лучшего решения, чем простое выражение у из второго уравнения системы:

$\left \{ {{x^2+y^2=4} \atop {y=x^2-4x+4}} \right. \\\\x^2+(x^2-4x+4)^2=4\\x^2+((x-2)^2)^2=4\\x^2+(x-2)^4=4\\(x-2)^4+x^2-4=0\\(x-2)^4+(x-2)(x+2)=0\\(x-2)((x-2)^3+x+2)=0\\x_{1} =2\\(x-2)^3+x+2=0\\x^3-6x^2+12x-8+x+2=0\\x^3-6x^2+13x-6=0$

• Воспользуемся ф-лой Кардано:

$x^3-6x^2+13x-6=0\\a=-6\\b=13\\c=-6\\x=k-\frac{a}{3} =k+2\\(k+2)^3-6(k+2)^2+13(k+2)-6=k^3+k+4$

• Приведенное выше уравнение с k можно представить как:

$k^3+k+4=k^3+3pk+2q\\p=\frac{1}{3} \\q=2$

• Дальше по готовой формуле находим k:

$k=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3} }+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3} }\\k=\sqrt[3]{-2+\sqrt{2^2+(\frac{1}{3} )^3} } +\sqrt[3]{-2-\sqrt{2^2+(\frac{1}{3} )^3} }=\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} }$

• Делаем обратную замену:

$x = k+2\\x=\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2$

• Подставляем в любое уравнение системы для нахождения y, к примеру в уравнение 2:

$y=(\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2)^2-4(\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2)+4\\y=\sqrt[3]{\frac{217}{27}-\frac{4\sqrt{327} }{9} } +\sqrt[3]{\frac{217}{27}+\frac{4\sqrt{327} }{9} } -\frac{2}{3}$

• Это и есть наш ответ!