Question

Решите пожалуйста второе задание.

Answer 1

$f(x)=-x^2+2x+3\ a=-1, b=2, c=3;$

Квадратичная функция, график - парабола.

Так как $a<0$, ветви направлены вниз.

Построение:

Шаг 1. Ищем вершину графика.

$x_{0}=-frac{b}{2a}=-frac{2}{2*(-1)}=1,\ y_{0}=-1^2+2*1+3=4$

Шаг 2. Строим график $f(x)=-x^2+2x+3$ по точкам, от вершины.

$f(-2)=-(-2)^2+2*(-2)+3=-5,\ f(-1)=-(-1)^2+2*(-1)+3=0,\ f(0)=-0^2+2*0+3=3,\ f(1)=-1^2+2*1+3=4,\ f(2)=-2^2+2*2+3=3$

Анализируя график, легко увидеть, что функция убывает на промежутке $[1;+infty)$, а возрастает на промежутке  $(-infty; 1]$.

Можно сделать и "вслепую" - взять производную.

$f'(x)=(-x^2+2x+3)'=-2x+2\ ]-2x+2=0,\ -2x=-2,\ x=1$

$f(1)=4$ - максимум (наибольшее значение) функции.

Минимумы у данной функции отсутствуют.

При каких значениях $x$ функция отрицательна?

Анализируя график, легко увидеть, что функция отрицательна на промежутках $(-infty; -1);(3;+infty)$

Если же решать "вслепую", то:

При $x$, являющихся решением неравенства $-x^2+2x+3<0$

$-x^2+2x+3<0, |*(-1)\ x^2-2x-3>0\ ]x^2-2x-3=0,\ a=1,b=-2,c=-3;\ D=b^2-4ac=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16,>0;\ x_{1,2} =frac{-b pm sqrt{D} }{2a}=frac{2 pm sqrt{16} }{2*1}=left [ {{3} atop {-1}} right.$

Разложим данный двучлен на множители.

$a(x-x_{1})(x-x_{2})=(x-3)(x+1)$

Помним, что мы решаем неравенство: $(x-3)(x+1)>0$

Начертим $Ox$, отметим на ней точки ${3}$ и ${1}$.

Имеем три промежутка: $(-infty;-1);(-1;3);(3;+infty)$, причём точки ${3}$ и ${1}$ не включены, так как неравенство строгое.

Подставим любое число, большее ${3}$ и ${1}$, в неравенство $(x-3)(x+1)>0$. Пусть $x=1000$, тогда $(1000-3)(100+1)$, больше $0$. Данный промежуток нам подходит. Далее, очевидно, промежуток $(-1;3)$ даёт решения меньше $0$, а $(-infty;-1)$ - решения больше нуля, данный промежуток нам тоже подходит.

Итак, решение неравенства: $x in (-infty; -1) cup (3;+infty)$