Question

Решите пожалуйста, очень надо.

1)Найти точки экстремума функции f(x) = x^4 - 8x^2 + 3

2)Найдите наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 на промежутке [ -2; 2 ] .

P.S. Заранее спасибо.

Answer 1

Производная функции: $f'(x)=(x^4-8x^2+3)'=4x^3-16x$

f'(x) = 0; $4x^3-16x=0$

$4x(x^2-4)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x_1=0\ x^2-4=0~~~Rightarrow~~~ x_{2,3}=pm2$

___-___(-2)___+___(0)___-___(2)__+____

В точках х = -2 и х = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, x=±2 - локальные минимумы.

В точке х = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-), значит точка х = 0 имеет локальный максимум.

2) Производная функции: f'(x) = 3x² - 12x

3x² - 12x = 0

3x(x-4) = 0

x=0

x=4

Корень х=4 не принадлежит промежутку [-2;2].

Найдем теперь наименьшее значение функции на концах отрезка.

$f(-2)=(-2)^3-6cdot(-2)^2+9=-23~~~-min\ f(0)=0^3-6cdot0^2+9=9\ f(2)=2^3-6cdot2^2+9=-7$

Ответ: $displaystyle min_{[-2;2]}mathrm{f(x)=f(-2)=-23}$