Question

Решите, пожалуйста... :(

Answer 1

Ответ:

4,5 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x) :   f(x)= x +3 , g(x) = x² +1 .

Выполним рисунок. Графиком функции f(x)= x +3 является прямая, проходящая через точки ( -1; 2) и (2; 5) .

Графиком функции g(x) = x² +1 является парабола, ветви которой направлены вверх с вершиной в точке (0; 1) , смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

Рисунок во вложении. Найдем абсциссы точек пересечения, решив уравнение:

х² +1= х +3;

х²-х-2=0;

D= (-1)² - 4 · 1 ·(-2)= 1 +8 = 9;

$x{_1}= \dfrac{1-3}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1;\\\\x{_2}= \dfrac{1+3}{2} =\dfrac{4}{2} =2.$

Это и будут пределы интегрирования. Тогда площадь фигуры найдем через интеграл

$S = \Large \displaystyle\int\limits^2_{-1} {(x+3-x^{2} -1)} \, dx = \Large \displaystyle\int\limits^2_{-1} {(x+2-x^{2} )} \, dx =\\\\=\left(\dfrac{x^{2} }{2} +2x -\frac{x^{3} }{3}\right)\bigg|^2_{-1} =\left(\dfrac{2^{2} }{2} +2\cdot2 -\frac{2^{3} }{3}\right)-$

$-\left(\dfrac{(-1)^{2} }{2} +2\cdot(-1) -\dfrac{(-1)^{3} }{3}\right )=\left(2+4-\dfrac{8}{3} \right)-\left(\dfrac{1}{2} -2+\dfrac{1}{3} \right)=\\\\=6-\dfrac{8}{3} -\dfrac{1}{2} +2-\dfrac{1}{3}=8-\dfrac{9}{3}-\dfrac{1}{2}=8-3-\dfrac{1}{2}=5-\dfrac{1}{2}=4,5$

Тогда площадь фигуры равна 4,5 кв. ед.