Question

Решите параметр №18 ЕГЭ (100 баллов)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$13\sin u -7|\sin u+v-2a|+3|\sin u-2v-a-1|\le 16$

Введем замену $\sin u = t$. Откуда $-1\le t\le 1$.

Тогда неравенство примет вид:

$13t-7|t+v-2a|+3|t-2v-a-1|\le16$

Пусть переменная здесь будет $t$, а $v$ и $a$ параметры.

Наша задача определить, когда в решении этого неравенства будет содержаться промежуток $[-1;\;1]$.

Заметим, что при любом раскрытии модулей перед буквой $t$ будет стоять положительное число.

Тогда при любых значениях параметров имеем возрастающую функцию $f(t)=13t-7|t+v-2a|+3|t-2v-a-1|-16$.

Значит промежуток $[-1;\;1]$ будет в решении неравенства, если $f(1)\le0$, откуда переходим к новой записи:

$13-7|1+v-2a|+3|1-2v-a-1|-16\le0$

Тогда пришли к неравенству:

$-3-7|1+v-2a|+3|2v+a|\le0$

Строим его в координатах $(v;\;a)$ и выделяем интересующую нас область:

(см. прикрепленный файл)

Итого при $a\in\left[\dfrac{1}{5};\;\dfrac{3}{5}\right]$ исходное неравенство выполнимо для любой пары $(u;\;v)$ действительных чисел $u,\;v$.

Задание выполнено!