Question

решите неравенство
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)⩽3

Answer 1

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) leq 3$
перемножаем (x+1)(x+4) и (x+2)(x+3)
$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6) leq 3$
меняем x²+5x=t
$(t+4)(t+6) leq 3 \ t^2+10t+24 leq 3 \ t^2+10t+21 leq 0 \ t^2+7t+3t+21 leq 0 \ t(t+7)+3(t+7) leq 0 \ (t+7)(t+3) leq 0 \ a textgreater 0 Rightarrow t in [-7;-3]$
меняем назад
$left{begin{array}{I} x^2+5x geq -7 \ x^2+5x leq -3 end{array}}Leftrightarrow left{ begin{array}{I} x^2+5x+7 geq0\ x^2+5x+3 leq 0 end{array}} Leftrightarrow left{ begin{array}{I} xin R \ x^2+5x+3 leq 0 end{array}}$
$x^2+5x+3 leq 0 \ \ x^2+5x+3=0 \ D=25-12=13 \ x_{1,2}= dfrac{-5pm sqrt{13} }{2} \ \ Rightarrow x in left[dfrac{-5- sqrt{13} }{2} ;dfrac{-5+ sqrt{13} }{2} right ]$

Ответ: $x in left[dfrac{-5- sqrt{13} }{2} ;dfrac{-5+ sqrt{13} }{2} right ]$

Answer 2

решение исправил

Answer 3

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)≤3
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)≤3
(x²+4x+x+4)(x²+3x+2x+6)≤3
(x²+5x+4)(x²+5x+6)≤3
Пусть x²+5x=m, тогда:
(m+4)(m+6)≤3
m²+6m+4m+24≤3
m²+10m+21≤0
D=10²-4*21=100-84=16
m₁=(-10+4)/2=-6/2=-3
m₂=(-10-4)/2=-14/2=-7
(m+3)(m+7)≤0
           ////////////
_____.______.____
         -7           -3
-7≤m≤-3 → -7≤x²+5x≤-3
1) x²+5x≤-3
x²+5x+3≤0
D=5²-4*3=13
x₁=(-5+√13)/2, x₂=(-5-√13)/2 
(x-(-5+√13)/2)(x-(-5-√13)/2)≤0
                ////////////////////
_______.__________.______
       (-5-√13)/2      (-5+√13)/2
x∈[(-5-√13)/2;(-5+√13)/2]

2) x²+5≥-7
x²+5x+7≥0
D=5²-4*7=25-28=-3 → x∈R

Answer 4

Последняя строчка x - любое число, т.к. a>0

Answer 5

Выражение всегда положительно

Answer 6

Точненько, спасибо. :)