Question

Решите неравенство.
㏒₂($frac{3}{x}$+2)-㏒₂(x+3)≤㏒₂($frac{x+4}{x^{2}}$)

Answer 1

ОДЗ:
$1) frac3x+2 textgreater 0\ frac{2x+3}{x} textgreater 0\xneq-1,5,x neq 0$
Интервал: __+__(-1,5)__—__(0)__+__ х∈(-∞;-1,5)∪(0;+∞).
$2)x+3 textgreater 0\x textgreater -3$ (-3;+∞).
$3) frac{x+4}{x^2} textgreater 0\xneq-4,x neq 0$
Интервал: __—__(-4)__+__(0)__+__ х∈(-4;0)∪(0;+∞)
Пересечение этих результатов- это наша конечная область определения:
(-3;-1,5)∪(0;+∞).
$log_2( frac3x+2)-log_2(x+3) leq log_2( frac{x+4}{x^2})\log_2( frac{2x+3}{x})-log_2(x+3) leq log_2( frac{x+4}{x^2})\log_2 (frac{2x+3}{x(x+3)}) leq log_2( frac{x+4}{x^2})\ frac{2x+3}{x(x+3)} leq frac{x+4}{x^2}\ frac{2x+3}{x(x+3)}- frac{x+4}{x^2} leq 0\ frac{x(2x+3)-(x+4)(x+3)}{x^2(x+3)} leq 0\ frac{2x^2+3x-x^2-7x-12}{x^2(x+3)} leq 0\ frac{x^2-4x-12}{x^2(x+3)} leq 0 \frac{(x-6)(x+2)}{x^2(x+3)} leq 0\x=6;x=-2;x neq 0,x neq -3$
Интервал:
____—____(-3)____+____[-2]____—____(0)____—____[6]____+____
х∈(-∞;-3)∪[-2;0)∪(0;6]
Но из-за ОДЗ ответ:
х∈[-2;-1,5)∪(0;6].
УДАЧИ ВАМ ВО ВСЁМ)))!!!

Answer 2

И еще -1,5 должен выпадать из промежутка, т.к. при подстановке в эту часть неравенства ㏒₂( frac{3}{x} +2) - оно обернется к нулю

Answer 3

㏒₂( 3/x +2)*

Answer 4

Если подставить в условие х=-2,5 , то получим log(2)0,8-log(2)0?5<=log(2)0,34 --> log(2)1,6<=log(2)0,24 --> 1,6<=0,24 , что неверно, т.к. 1,6 >0,24 .

Answer 5

Понял, спасибо

Answer 6

описка: log(2)0,8-log(2_0,5<=log(2)0,24 ... Да, и т.к. основание log = 2>1, то log - возр. ф-ция и между аргументами сохраняется тот же знак, что и между ф-циями --> log(1)1,6<=log(2)0,24 и должно быть 1,6<=0,24, что неверно.

Answer 7

Найти ОДЗ(область допустимых значений):
x∈(-3,$-frac{3}{2}$)∪(0,+∞);
Упростить выражение,используя формулу ㏒ₐ(y)=㏒ₐ($frac{x}{y}$):
㏒₂($frac{frac{3}{x}+2}{x+3}$)≤㏒₂($frac{x+4}{x^{2}}$);
Для a>1 выражение ㏒ₐ(x)≤㏒ₐ(y)=x≤y:
$frac{frac{3}{x}+2}{x+3}leq frac{x+4}{x^{2}}$;
Переместить выражение в левую часть и изменить его знак:
$frac{frac{3}{x}+2}{x+3}-frac{x+4}{x^{2}} leq 0$;
Записать все числители над наименьшим общим знаменателем x²(x+3):
$frac{x^{2}({frac{3}{x}+2})-(x+3)(x+4)}{x^{2}(x+3)} leq 0$;
Записать все числители над общим знаменателем и перемножить выражения в скобках:
$frac{x^{2}({frac{3+2x}{x}})-([tex]x^{2}$+4x+3x+12)}{x^{2}(x+3)} leq 0[/tex];
Сократить выражение на x и привести подобные члены:
$frac{x(3+2x)-(x^{2}+7x+12)}{x^{2}(x+3)} leq 0$;
Распределить x через скобки;когда перед скобками есть знак "-",знак каждого члена в скобах нужно изменить на противоположный:
$frac{3x+2x^{2}-x^{2}-7x-12}{x^{2}(x+3)} leq 0$;
Привести подобные члены:
$frac{4x+x^{2}-12}{x^{2}(x+3)} leq 0$;
Существует 2 случая,при которых частное $frac{a}{b}$ может быть ≤0:$left { {{a leq 0} atop {b textgreater 0}} right.$ или $left { {{a geq 0} atop {b textless 0}} right.$:
$left { {{-4x+x^{2}-12 leq 0} atop {x^{2}(x+3)} textgreater 0} right.$
$left { {{-4x+x^{2}-12 geq 0} atop {x^{2}(x+3)} textless 0} right.$;
Решить неравенство относительно x:
$left { {{xe[-2,6]} atop {xe(-3,0)(0,infty)}} right.$
$left { {{xe(-infty,-2][6,infty)} atop {xe(-infty,-3)}} right.$;
Находим пересечение:
x∈[-2,0)∪(0,6]
x∈($-infty$,-3);
Находим объединение:
x∈($-infty$,-3)∪[-2,0)∪(0,6], x∈(-3,$-frac{3}{2}$)∪(0,$infty$);
Найти пересечение множества решений и области допустимых значений:
x∈[-2,$-frac{3}{2}$)∪(0,6]
Примечания автора:я думаю всё было понятно,если не так-пиши в комментарии.В функции редактора ответа нельзя использовать знак "∈" или "∉",поэтому там,где он необходим я ставил знак "e".Будь внимательным!
Насчёт квадратных и круглых скобок в конце не должно возникнуть вопросов.Удачи!

Answer 8

А вот если взять например x=-2,5, нигде же в ноль и отрицательное не обращается, тогда -2,5 удовлетворяет нашему условию, значит в ответе должно быть (-3;-2]∪[-2,-1,5)∪(0,6], разве нет?

Answer 9

если Вы подставите -2,5 в условие, то получите неверное неравенство.