Question

Решите неравенство ( объясните решение)
(x-3)^2x^2-7x>1

Answer 1

$(x-3)^{2x^{2} - 7x} > 1$

ОДЗ: $x - 3 > 0; x > 3$ при $2x^{2} - 7x$ — любое, и $x - 3 < 0; x < 3$, если $(2x^{2} - 7x)in mathbb{Z}$ .

Прологарифмируем обе части неравенства с основанием, например, 3.

$log_{3}(x-3)^{2x^{2} - 7x} > log_{3}1$

По свойству логарифма $log_{a}b^{p} = plog_{a}b$ имеем:

$(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3) > 0$

Решим неравенство методом интервалов (обобщенный).

1) Найдем ОДЗ: $x - 3 > 0; x > 3$

2) Найдем значения $x$, при которых функция $y=(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3)$ равна нулю (найдем нули функции):

$(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3) = 0$

Произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

$left[begin{array}{ccc}2x^{2} - 7x = 0 \log_{3}(x-3) = 0\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}x(2x - 7) = 0 \ x-3 = 1 \end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}x = 0 \x = 3,5\x = 4 end{array}right$

$x =0$ не удовлетворяет ОДЗ.

3) Разобьем область определения на промежутки, каждый из концов которого является корнем уравнения $(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3) = 0$ или конечной точкой промежутка определения функции $y=(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3)$

4) Определим знак $y=(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3)$ на каждом из образовавшихся промежутков.

5) Объединим промежутки, на которых функция $y=(2x^{2} - 7x)log_{3}(x-3)$ удовлетворяет неравенству, во множество решений.

Смотрите вложение.

Получаем решение: $x in (3; 3,5) cup (4; +infty)$

Разберем случай, когда $x < 3$ при $(2x^{2} - 7x)in mathbb{Z}$ (поскольку отрицательное число можно возводить только в целую степень). Пусть $2x^{2} - 7x = n,$ где $n in mathbb{Z}$. Тогда

$x^{2} - dfrac{7}{2} x = dfrac{1}{2}n, n in mathbb{Z}$

$x^{2} - dfrac{7}{2}x + dfrac{49}{16} = dfrac{1}{2} n + dfrac{49}{16}, n in mathbb{Z}$

$left(x - dfrac{7}{4} right)^{2} = dfrac{1}{2}n + dfrac{49}{16}, n in mathbb{Z}$

$x - dfrac{7}{4} = pm sqrt{dfrac{1}{2}n + dfrac{49}{16} }, n in mathbb{Z}$

$x= dfrac{7}{4} pm dfrac{1}{4} sqrt{8n + 49}, n in mathbb{Z}$

$x= dfrac{1}{4}left(7 pmsqrt{8n + 49} right), n in mathbb{Z}$

Здесь $8n + 49 geq 0, n in mathbb{Z}$ при $n geq -dfrac{49}{8}, n in mathbb{Z}$

Так как $x < 3$, то

$left[begin{array}{ccc} dfrac{1}{4}left(7 -sqrt{8n + 49} right) < 3, n in mathbb{Z} \ \dfrac{1}{4}left(7 + sqrt{8n + 49} right)< 3, n in mathbb{Z}\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc} sqrt{8n + 49} > -5, n in mathbb{Z} \ \sqrt{8n+ 49}< 5, n in mathbb{Z} \end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}n geq -dfrac{49}{8}, n in mathbb{Z} \ -dfrac{49}{8} leq n < -3, n in mathbb{Z} \end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}n = {-6; -5; -4; -3; -2; ... } \ n = {-6; -5; -4} \end{array}right$

При $n = -5$ получается неопределенность $0^{0}$ в исходном неравенстве.

Если $(x-3)^{n} > 1$ при $n in mathbb{Z}$, то данное неравенство будет выполнятся в таких случаях:

1) если основание степени $x - 3 >-1$, то есть если $x > 2$, то показатель степени равен:

$left[begin{array}{ccc}dfrac{1}{4}left(7 - sqrt{8n + 49} right) > 2, n in mathbb{Z} \ \dfrac{1}{4}left(7 + sqrt{8n + 49} right) > 2, n in mathbb{Z}\end{array}right$

$left[begin{array}{ccc}n in varnothing \n = {-4}\end{array}right$

Значит, при $n = -4$ имеем:

$x= dfrac{1}{4}left(7 +sqrt{8 cdot (-4) + 49} right) = dfrac{1}{4} (7 + sqrt{17})$

2) если основание степени $x - 3 < -1$, то есть если $x < 2$, то показатель степени должен быть четным и целым положительным, то есть $n = {2; 4; 6; 8; ... }$, поскольку если в основании степени находится число, меньшее $-1$, то сама степень может быть больше единицы тогда и только тогда, когда показатель степени — четное натуральное число, поэтому выполняется только $x = dfrac{1}{4} left(7 - sqrt{8k + 49} right),$ где $k = 2n, n in mathbb{N}$.

Ответ: $x = dfrac{1}{4} left(7 + sqrt{17} right);$ $x in (3; 3,5) cup (4; +infty);$ $x = dfrac{1}{4} left(7 - sqrt{8k + 49} right), k = 2n, n in mathbb{N}$

Answer 2

Спасибо за подробное решение!!!!!!!