Question

Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у²

Answer 1

заметим

1. x! (x > 4) оканчивается на 0  (x! = 1*2*...*(x-1)*x есть 2 и 5 в умножении)

2. квадраты чисел могут оканчиваться на цифры  0, 1, 4, 5, 6, 9

1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1*2 + 1*2*3 + 1*2*3*4 = 1 + 2 + 6 + 24 = 33

после 4-х решений нет

33 - не квадрат, далее числа, которые оканчиваются на 3, что тоже не может быть квадратом

Смотрим x=1, 2 , 3

1. x = 1

1 = y²

y = 1

y = -1

2. x = 2

1! + 2! = y²

y² = 3 нет решений в целых числах

3. х = 3

1! + 2! + 3! = y²

y² = 1 + 2 + 6 = 9

y = 3

y = -3

ответ (1,1) (1,-1) (3,3) (3,-3)