Question

Решить уравнение: y'-xy=e^x
Вычислить интеграл: ∫cos^4 xdx
∫(dx)/(cos^2(7x-3)
ЛОДУ: y'''-2'+y=sin x

Пожалуйста, помогите, буду благодарна.

Answer 1

1) y' - xy = e^x
Неоднородное уравнение 1 порядка. Замена y = u*v, y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - x*u*v = e^x
u'*v + u*(v' - x*v) = e^x
Скобку приравниваем к 0
v' - x*v = 0
Уравнение с разделяющимися переменными
dv/dx = x*v
dv/v = dx*x
ln |v| = x^2/2
v = e^(x^2/2)
Получилось уравнение
u'*v + u*0 = e^x
u' = e^x / v = e^x / e^(x^2/2) = e^(x - x^2/2)
u' = e^(x - x^2/2)
Однако, этот интеграл в элементарных функциях не берется.
Но вообще он очень похож на интеграл Лапласа:
Ф(x) = $frac{1}{ sqrt{2 pi } } int {e^{-x^2/2}} , dx$
В итоге
$y=u*v=e^{x^2/2}* int {e^{x - x^2/2}} , dx$

2) $int {cos^4(x)} , dx = int {(cos^2(x))^2} , dx=int {( frac{1+cos(2x)}{2} )^2} , dx=$
$= frac{1}{4} int {(1+cos(2x))^2} , dx= frac{1}{4}int {(1+2cos(2x)+cos^2(2x))} , dx=$
$frac{1}{4} (x+ sin(2x)+ int { frac{1+cos(4x)}{2} } , dx)=frac{x}{4}+ frac{1}{4}sin(2x)+ frac{1}{8} int {(1+cos(4x))} , dx$
$=frac{x}{4}+ frac{1}{4}sin(2x)+ frac{1}{8}(x+ frac{1}{4}sin(4x) )= frac{3x}{8} + frac{1}{4} sin(2x)+ frac{1}{32} sin(4x)+C$

3) $int { frac{dx}{cos^2(7x-3)} }= frac{1}{7}*tg(7x-3)$
Это совсем простой табличный интеграл.

4) Тут я не понял, что такое 2' + y ?