Алгебра, вопрос задал yugolovin , 7 лет назад

Решить уравнение
$1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{2021}=0$

daraprelj: Как минимум х= -1 подходит

Ответы на вопрос

Ответил ZlataSergeeva2000

Ответ:

х = -1

Объяснение:

Уравнение

1 + х + х² + х³ + ... + х²⁰²¹ = 0

представляет собой сумму геометрической прогрессии

b₁ = 1

q = x

b₂₀₂₂ = х²⁰²¹

Cумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

$S_n = \dfrac{b_n \cdot q - b_1}{q - 1}$

При n = 2022

$S_{2022} = \dfrac{x^{2021} \cdot x- 1}{x - 1} = \dfrac{x^{2022}-1}{x - 1}$

По условию

S₂₀₂₂ = 0

то есть

$\dfrac{x^{2022}-1}{x - 1}=0$

ОДЗ: х ≠ 1

х ²⁰²² = 1

х₁ = 1 не подходит по ОДЗ

х₂ = -1

igorShap: Почему x=1 не проходит по ОДЗ? Оно не проходит в ОДЗ формулы, которую Вы использовали - но не исходного уравнения.

igorShap: У исходного уравнения ОДЗ - все действительные числа

ZlataSergeeva2000: ОДЗ не к исходному уравнению. а к уравнению Sn = 0 там только я и указала ОДЗ.

igorShap: Именно об этом я и писал. Sn=0 не равносильно исходному уравнению (точнее, это не доказано). Формула суммы геометрической прогрессии для q=1 имеет не тот вид, который Вы использовали в ответе, соответственно, этот случай надо рассматривать отдельно. И ОДЗ формулы к тому, является ли 1 корнем исходного уравнения, не имеет отношения

ZlataSergeeva2000: Как это: неравносильно. Разве сумма, указанная в исходном уравнении, не есть сумма 2023 членов геометрической прогрессии? Мне казалось, это очевидно.

ZlataSergeeva2000: Если х = 1 , то сумма х + х^2 + х^3 + ... + х^ 2221 = 2222 и никак не 0. Так что х = 1 не подходит и так и сяк. - никак.

yugolovin: Давайте подправим решение так: если x=1, то сумма 1+x+...+x^{2021}=2022, то есть 1 нет является решением. Если x не равен 1, применяем формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем x=1 и x= - 1, 1 бракуем.

igorShap: "Разве сумма, указанная в исходном уравнении, не есть сумма 2023 членов геометрической прогрессии? Мне казалось, это очевидно." - я не отрицал, что это сумма геометрической прогрессии. Я говорил о том, что использованная Вами формула Sn верна, если q не равно 1.

igorShap: Для q=1 сумма геометрической прогрессии имеет другой вид. То, что 1 не является корнем исходного уравнения, не следует из того, что 1 не входит в ОДЗ использованной Вами формулы - потому что Вы искусственно откидываете случай q=1, никак это не обосновав.

Ответил antonovm

Ответ:

-1

Объяснение:

Приложения: