Question

Решить уравнение логарифма

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$log_{(x+1)}(1-3x) = -1 + log_{\sqrt{1-3x}}(1 - 2x - 3x^2)\\log_{(x+1)}(1-3x) = - 1 + 2log_{(1 - 3x)}(x+1)(1-3x)\\log_{(x+1)}(1-3x) = - 1 + 2(log_{(1 - 3x)}(x+1)+ log_{(1 - 3x)}(1-3x))\\log_{(x+1)}(1-3x) = -1 + 2log_{(1 - 3x)}(x+1) + 2 = 1 + 2log_{(1 - 3x)}(x+1)\\log_{(x+1)}(1-3x) = t;\\log_{(1 - 3x)}(x+1) = \frac{1}{log_{(x+1)}(1-3x)} = \frac{1}{t}\\ t = 1 + \frac{2}{t}\\ t^2 = t + 2\\t^2 - t - 2 = 0\\t_1 = -1\\t_2 = 2\\log_{(x+1)}(1-3x) = -1\\1-3x = (x+1)^{-1} = \frac{1}{x+1}$

$(1-3x)(x+1) = 1\\1 - 2x - 3x^2 = 1\\3x^2 + 2x = 0\\3x(x + \frac{2}{3}) = 0\\ x_1=0\\x_2 = -\frac{2}{3}\\ log_{(x+1)}(1-3x) = 2\\(x+1)^2 = 1-3x\\x^2 + 2x + 1 = 1 - 3x\\x^2 + 5x = 0\\x(x+5) = 0\\x_3 = 0\\x_4 = -5.$

Чтобы не искать ОДЗ, выполним проверку:

1. $x = x_1 = 0$

Очевидно, основание первого логарифма - это единица. Значит, x = 0 - побочный корень.

2. $x = x_2 = -\frac{2}{3}\\log_{(-\frac{2}{3} +1)}(1 + 2) = -1 + log_{\sqrt{1 + 2}}(1 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3})\\ -1 = -1 + 0 = -1 - true.$

Значит, x = $-\frac{2}{3}$ является корнем.

3. Третий случай совпадает с первым.

4. При подстановке x = -5 основание первого логарифма отрицательно. Значит, x = -5 - это побочный корень.

Аналогично решается и второй пример, просто числа другие.