Question

Решить уравнение
C_{n-1} ^{3} +C _{n} ^{3} =30

Answer 1

$C_{n-1}^{3}+C_{n}^3=30$
Воспользуемся формулой биномального коэффициента:
$C_{n}^k= frac{n!}{k!(n-k)!}$
Тогда исходное уравнение будет иметь вид:
$frac{(n-1)!}{3!(n-1-3)!}+ frac{n!}{3!(n-3)!}=30$
Домножим уравнение на 6 (оно же 3!), и сократим.
$frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}+ frac{n!}{3!(n-3)!}=30 \ (n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)=180$
Откроем скобки.
$(n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)=180 \ (n-3)(n^2-3n+2)+n(n^2-3n+2)=180 \ n^3-3n^2+2n-3n^2+9n-6 +n^3-3n^2+2n-180=0 \ 2n^3-9n^2+13n-186=0$
Воспользуемся формулой Кардано.
Выполним замену $n=x- frac{b}{3a}=x- frac{-9}{6}=x+frac{3}{2}$.
Теперь мы можем привести уравнение к каноническому виду $x^3+px+q=0$, воспользовавшись следующими формулами коэффициентов:
$p= frac{3ac-b^2}{3a^2} = frac{3*2*13-(-9)^2}{3*2^2}= frac{78-81}{12}= frac{-3}{12} = -frac{1}{4} \ q= frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}= frac{2*(-9)^3-9*2*(-9)*13+27*2^2*(-186)}{27*2^3}= \ = frac{-1458+2106-20088}{216} = frac{-19440}{216}=90 \ x^3 - frac{1}{4}x-90=0$
Вычислим Q.
$Q= (frac{p}{3})^3+ (frac{q}{2})^2= (-frac{1}{12})^3 + (frac{90}{2})^2 = -frac{1}{1728} +2025=frac{3499199}{1728}$
Так как Q больше нуля, вещественный корень у уравнения только один и вычисляется он по формуле:
$x= sqrt[3]{ -frac{q}{2}-sqrt{Q}}+ sqrt[3]{ -frac{q}{2}+ sqrt{Q} } \ x=sqrt[3]{-frac{-90}{2}- sqrt{ frac{3499199}{1728}} }+sqrt[3]{-frac{-90}{2}+ sqrt{ frac{3499199}{1728}} }=4frac {1}{2}$
$n=4frac {1}{2}+1frac {1}{2}=6$
Проверка.
$frac{(6-1)!}{3!(6-1-3)!}+ frac{6!}{3!(6-3)!}=30 \ frac{120}{12}+ frac{720}{36} =30 \ 10+20=30$
Ответ:n=6