Question

Решить уравнение
3sin2x-4cosx+3sinx-2=0
Указать корни, которые принадлежат отрезку [П/2;3П/2].

Answer 1

$3sin2x-4cos x+3sin x-2=0 \ 3cdot2sin xcos x+3sin x-4cos x-2=0 \ 3sin x(2cos x+1)-2(2cos x+1)=0 \ (2cos x+1)(3sin x-2)=0 \ 2cos x+1=0Rightarrow cos x=- dfrac{1}{2} \ boxed{ x_1= dfrac{2 pi }{3} +2 pi n}boxed{ x_2=- dfrac{2 pi }{3} +2 pi n}, nin Z \ 3sin x-2=0Rightarrow sin x=- dfrac{2}{3} \ boxed{x_3= arcsindfrac{2}{3} +2 pi n} boxed{ x_4= pi - arcsindfrac{2}{3} +2 pi n}, nin Z$

$dfrac{ pi }{2} leq dfrac{2 pi }{3} +2 pi n leq dfrac{3 pi }{2} \ dfrac{ 1 }{2} leq dfrac{2 }{3} +2 n leq dfrac{3 }{2} \ dfrac{ 1 }{2} -dfrac{2 }{3} leq 2 n leq dfrac{3 }{2} -dfrac{2 }{3} \ -dfrac{1 }{6} leq 2 n leq dfrac{5 }{6} \ -dfrac{1 }{12} leq n leq dfrac{5 }{12} \ n=0: x_1=dfrac{2 pi }{3} +2 pi cdot0=dfrac{2 pi }{3}$

$dfrac{ pi }{2} leq - dfrac{2 pi }{3} +2 pi n leq dfrac{3 pi }{2} \ dfrac{ 1 }{2} leq - dfrac{2 }{3} +2 n leq dfrac{3 }{2} \ dfrac{ 1 }{2} +dfrac{2 }{3} leq 2 n leq dfrac{3 }{2} +dfrac{2 }{3} \ dfrac{7 }{6} leq 2 n leq dfrac{13 }{6} \ -dfrac{7 }{12} leq n leq dfrac{13 }{12} \ n=1: x_2=-dfrac{2 pi }{3} +2 pi cdot1=dfrac{4 pi }{3}$

$dfrac{ pi }{2} leq arcsindfrac{2}{3} +2 pi n} leq dfrac{3 pi }{2} \ xin oslash$

$dfrac{ pi }{2} leq pi - arcsindfrac{2}{3} +2 pi n leq dfrac{3 pi }{2} \ x_3=pi - arcsindfrac{2}{3}$

Ответ: $pmdfrac{2 pi }{3} +2 pi n$; $(-1)^narcsindfrac{2}{3} +pi n$. Корни 2п/3, 4п/3, п-arcsin(2/3)