Question

Решить СЛАУ:$\left \{ {{x_{2}+x_{3}+...+x_{n}= 0} \atop {x_{1}+x_{3}+...+x_{n}= 1}} \atop {{...} \atop {x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}= n-1}} \right.$

Answer 1

Ответ:

$n=1=>x_1\in R\\ n>1=> \left\{\begin{array}{c}x_1=\dfrac{n}{2}\\x_2=\dfrac{n}{2}-1\\...\\x_n=\dfrac{n}{2}-(n-1) \end{array}\right.$

Объяснение:

Перепишем систему в немного ином виде: очевидно, в левой части i-ой строки стоит разность суммы всех переменных и $x_i$

$\left\{\begin{array}{c}(x_1+x_2+x_3+...+x_n)-x_1=0\\(x_1+x_2+x_3+...+x_n)-x_2=1\\...\\(x_1+x_2+x_3+...+x_n)-x_n=n-1 \end{array}\right. (1)$

Тогда, сложив все уравнения, получим:

$n(x_1+x_2+x_3+...+x_n)-(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=0+1+...+n-1\\ (n-1)(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=\dfrac{0+n-1}{2}n\\ (n-1)(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=\dfrac{n}{2}(n-1)$

$n-1=0=>n=1=>0=0$ -верное равенство, а значит $x_1$ - любое

$n-1\neq 0=>(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=\dfrac{n}{2}$

Подставляем полученное равенство в систему (1):

$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{n}{2}-x_1=0\\\dfrac{n}{2}-x_2=1\\...\\\dfrac{n}{2}-x_n=n-1 \end{array}\right. => \left\{\begin{array}{c}x_1=\dfrac{n}{2}\\x_2=\dfrac{n}{2}-1\\...\\x_n=\dfrac{n}{2}-(n-1) \end{array}\right.$