Question

Решить систему уравнений: $\displaystyle \left \{ {{10^{lg0,5(x^{2} +y^{2} )+1,5} =100\sqrt{10} } \atop {\dfrac{\sqrt{x^{2} +10y} }{3} }=\dfrac{6}{2\sqrt{x^{2} +10y} -9} } \right. .$

Answer 1

Рассмотрим второе уравнение системы, предварительно выполнив замену переменных $\sqrt{x^2+10y}=t$, причём t ≥ 0.

$\dfrac{t}{3}=\dfrac{6}{2t-9}$

$2t^2-9t-18=0$

$2t^2-12t+3t-18=0$

$2t(t-6)+3(t-6)=0$

$(t-6)(2t+3)=0$

$t_1=6$

$t_2=-1.5$ - не удовлетворяет условию

Выполним обратную замену:

$\begin{cases} & \text{ } 10^{\lg\Big(0.5(x^2+y^2)\Big)+1.5}=100\sqrt{10} \\ & \text{ } x^2+10y=36 \end{cases}~\Rightarrow~\begin{cases} & \text{ } 10^{\lg\Big(0.5(36-10y+y^2)\Big)+1.5}=100\sqrt{10} \\ & \text{ } x^2=36-10y \end{cases}$

$\lg\Big(0.5(36-10y+y^2)\Big)+1.5=2.5$

$0.5(36-10y+y^2)=10$

$y^2-10y+16=0$

$y_1=2$

$y_2=8$

$x^2=36-10\cdot 2=16$ откуда $x=\pm4$

$x^2=36-10\cdot8=-44$ - решений нет

Ответ: (-4;2), (4;2).