Question

Решить систему уравнений

Answer 1

Ответ:

(-2; 2) ,   (2;-2) , (2√2; √2) и (-2√2; -√2).

Объяснение:

Решить систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{l} \dfrac{x}{y} -\dfrac{2y}{x} = 1, \\\\x^{2} -5 xy+2y^{2} = 32 \end{array} \right.$

Рассмотрим первое уравнение системы

$\dfrac{x}{y} -\dfrac{2y}{x} = 1$

Пусть     $\dfrac{x}{y} =t$   , тогда    $\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{t}$ и уравнение принимает вид:

$t-\dfrac{2}{t} =1|\cdot t\neq 0;\\\\t^{2} -2=t;\\\\t^{2} -t-2=0;\\\\D=(-1)^{2} -4\cdot 1 \cdot(-2)= 1+8=9 ; \\\\\sqrt{D} =3;\\\\t{_1}= \dfrac{1-3}{2} =-\dfrac{2}{2} =-1;\\\\t{_2}= \dfrac{1+3}{2} =\dfrac{4}{2} =2$

Тогда получим при t= -1     x=-y  и при    t =2    x=2y.

Тогда решим две системы

$1)\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\x^{2} -5 xy+2y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow)\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\(-y)^{2} -5 \cdot(-y)\cdot y+2y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow)\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\y^{2} +5 y^{2} +2y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\8y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\y^{2} = 4\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\ \left [\begin{array}{l} y = 2 \\ y = -2 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array}{l} x = -2, \\ y = 2; \end{array} \right. \\ \left \{\begin{array}{l} x = 2, \\ y = -2. \end{array} \right. \end{array} \right.$

(-2; 2) и (2;-2)  - решение системы

$2)\left \{\begin{array}{l} x =2y , \\x^{2} -5 xy+2y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow)\left \{\begin{array}{l} x =-y , \\(2y)^{2} -5 \cdot(2y)\cdot y+2y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow)\left \{\begin{array}{l} x =2y , \\4y^{2} +10 y^{2} +2y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x =2y , \\16y^{2} = 32 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x =2y , \\y^{2} = 2\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x =2y , \\ \left [\begin{array}{l} y = \sqrt{2} \\ y = -\sqrt{2} \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} \left \{\begin{array}{l} x = 2\sqrt{2} , \\ y = \sqrt{2} ; \end{array} \right. \\ \left \{\begin{array}{l} x = -2\sqrt{2} , \\ y = -\sqrt{2} . \end{array} \right. \end{array} \right.$

(2√2; √2) и (-2√2; -√2) - еще два решения системы.

Значит, система имеет 4 решения

(-2; 2) ,   (2;-2) , (2√2; √2) и (-2√2; -√2)

#SPJ1