Question

Решить систему уравнений

Answer 1

Ответ:

(x,y) ∈ {(-1; -2)}

Объяснение:

$displaystyle left { {{5x-2y+4=sqrt{x-5y} } atop {10x^{2}-x+20y^{2}+5y+27=54xy}} right.$

Область допустимых значений: x-5y≥0, 5x-2y+4≥0.

Введём замену переменных: u=5x-2y≥-4, v=x-5y≥0. В силу этого:

u·v=(5x-2y)·(x-5y)=5x²-27xy+10y²

Тогда

$displaystyle left { {{(5x-2y)+4=sqrt{x-5y} } atop {2(x^{2}-27xy+10y^{2})-(x-5y)+27=0}} right.$  ⇔

⇔ $displaystyle left { {{u+4=sqrt{v} } atop {2uv-v+27=0}} right.$  ⇔ $displaystyle left { {{u=sqrt{v}-4 } atop {2(sqrt{v} -4)v-v+27=0}} right.$

Опять введём замену переменного: v=t²

$displaystyle left { {{u=t-4 } atop {2(t -4)t^{2} -t^{2}+27=0}} right.$  ⇔ $displaystyle left { {{u=t-4 } atop {(t-3)^{2}(2t+3)=0}} right.$

Отсюда, t₁=3, t₂= -3/2. Переведём значения переменных обратно:

v₁=3²=9>0, v₂=(-3/2)²=9/4>0

u₁=3-4= -1>-4 - подходит, u₂=-3/2-4= -5,5 < -4 - не подходит.

Отсюда: u= -1.

u= -1, v=9

$displaystyle left { {5x-2y=-1} atop {x-5y=9}} right. \\left { {5(5y+9)-2y=-1} atop {x=5y+9}} right.\\left { {25y+45-2y=-1} atop {x=5y+9}} right.\\left { {23y=-46} atop {x=5y+9}} right.\\left { {y=-2} atop {x=5*(-2)+9=-1}} right.$

Значит, x= -1, y= -2.