Question

Решить неравенство!!!
log2x 0,25 больше либо равно log2 32x-1

Answer 1

$log _{2x}0,25 geq log _{2} 32x-1$
ОДЗ: х>0   х≠1/2
Переходим к основанию 2 в первом выражении
$frac{log _{2}0,25}{log _{2}2x} geq log _{2} 32x-1,$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
$frac{log _{2}0,25}{log _{2}2+log_{2}x} geq log _{2} 32+log_{2}x-1, \ frac{-2}{1+log_{2}x} geq 5+log_{2}x-1 \ frac{-2}{1+log_{2}x} geq 4+log_{2}x,$
Замена
$log_{2}x=t \ frac{-2}{1+t} geq 4+t, \ frac{-2}{1+t} -4-t geq0, \ frac{-2-4-4t-t-t ^{2} }{1+t} geq 0, \ frac{-t ^{2}-5t-6 }{1+t} geq 0, \ frac{t ^{2}+5t+6 }{1+t} leq 0, \ frac{(t +2)(t+3) }{1+t} leq 0$
Решаем неравенство методом интервалов:
         _                  +                        _                  +
-------------(-3)---------------(-2)-------------(-1)----------
t<-3         или      -2 < t < -1
$1)log_{2}x<-3$      или      $2)-2 <log_{2}x<-1$
$1)log_{2}x<-3cdot log_{2}2, \ log_{2}x<cdot log_{2}2 ^{-3} , \ x< frac{1}{8}$
или
$2) -2 <log_{2}x<-1, \-2cdot log_{2}2 <log_{2}x<-1cdot log_{2}2, \log_{2}2 ^{-2}<log_{2}x<log_{2}2 ^{-1} , \frac{1}{4}<x< frac{1}{2}$