Question

Решить неопределённый интеграл

Answer 1

$displaystyle intfrac{dx}{4sinx+3cosx}=2intfrac{dt}{-3t^2+8t+3}=2intfrac{dt}{-(3t^2-8t+frac{16}{3})+frac{25}{3}}=\=-frac{2}{sqrt3}intfrac{d(sqrt3t-frac{4}{sqrt{3}})}{(sqrt3t-frac{4}{sqrt{3}})^2-frac{25}{3}}=-frac{1}{5}ln|frac{t-3}{3t+1}|+C=\=-frac{1}{5}ln|frac{tgfrac{x}{2}-3}{3tgfrac{x}{2}+1}|+C$
$t=tgfrac{x}{2};2arctgt=x\dx=frac{2dt}{1+t^2}\sinx=frac{2t}{1+t^2};cosx=frac{1-t^2}{1+t^2}\4sinx+3cosx=frac{8t}{1+t^2}+frac{3-3t^2}{1+t^2}=frac{-3t^2+8t+3}{1+t^2}$